Gruppo semplice: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], un '''gruppo semplice''' è un [[gruppo (matematica)|gruppo]] non [[gruppo banale|banale]] i cui unici [[sottogruppo normale|sottogruppi normali]] sono il sottogruppo banale e il gruppo stesso. |
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Sia G un [[gruppo]] con [[operazione interna]] *, esso si dice semplice se e soltanto se i suoi sottogruppi banali sono normali (cfr. [[sottogruppo normale]]); ovvero, oltre a G stesso, il suo unico [[sottogruppo normale]] è il [[gruppo]] unitario {u}. |
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== Esempi == |
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Ricordo che G e {1} sono i sottogruppi banali di ogni [[gruppo]] G ad [[operazione interna]] *. |
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* Un [[gruppo ciclico]] ''G''='''Z'''/''m'''''Z''' è semplice se e solo se ''m'' è [[numero primo|primo]]: infatti tutti i sottogruppi di ''G'' sono normali, e corrispondono ai [[divisore|divisori]] di ''m''. |
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* Il gruppo dei [[numeri interi]] '''Z''' non è semplice, perché i numeri pari formano un sottogruppo normale. Più in generale, un [[gruppo abeliano]] è semplice se e solo se è ciclico di ordine primo. |
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* Il più piccolo esempio di gruppo semplice nonabeliano è il [[gruppo alternante]] ''A''<sub>5</sub> di ordine 60. |
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* Il secondo esempio è il [[gruppo lineare speciale]] proiettivo PSL(2,7), di ordine 168. |
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== Classificazione == |
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La classificazione dei gruppi semplici finiti fu conclusa nel [[1982]], grazie al contributo di numerosi matematici, tra cui [[John G. Thompson]]. |
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[[Categoria:Teoria dei gruppi]] |
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[[en:Simple group]] |
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[[fr:Groupe simple]] |
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[[ko:단순군]] |
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[[he:חבורה פשוטה]] |
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[[fi:Yksinkertainen ryhmä]] |
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Versione delle 11:58, 21 nov 2006
In matematica, un gruppo semplice è un gruppo non banale i cui unici sottogruppi normali sono il sottogruppo banale e il gruppo stesso.
In altre parole, i gruppi semplici sono gruppi che contengono il minimo numero di sottogruppi normali. I gruppi semplici sono importanti in teoria dei gruppi, specialmente nella teoria dei gruppi finiti, perché formano i "blocchi primari" per la costruzione di ogni gruppo finito.
Esempi
- Un gruppo ciclico G=Z/mZ è semplice se e solo se m è primo: infatti tutti i sottogruppi di G sono normali, e corrispondono ai divisori di m.
- Il gruppo dei numeri interi Z non è semplice, perché i numeri pari formano un sottogruppo normale. Più in generale, un gruppo abeliano è semplice se e solo se è ciclico di ordine primo.
- Il più piccolo esempio di gruppo semplice nonabeliano è il gruppo alternante A5 di ordine 60.
- Il secondo esempio è il gruppo lineare speciale proiettivo PSL(2,7), di ordine 168.
Classificazione
La classificazione dei gruppi semplici finiti fu conclusa nel 1982, grazie al contributo di numerosi matematici, tra cui John G. Thompson.