Formula di Bretschneider: differenze tra le versioni
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Versione delle 13:06, 6 giu 2012
In geometria, la formula di Bretschneider per il calcolo dell'area di un quadrilatero corrisponde alla seguente espressione:
Dove a, b, c, d sono i lati del quadrilatero, p è il semiperimetro, e sono i due angoli opposti.
La scoperta di tale formula si deve al matematico tedesco Carl Anton Bretschneider. La formula di Bretschneider funziona per ogni quadrilatero, a prescindere dal fatto che esso sia ciclico o meno.
Dimostrazione
Indichiamo con A l'area del quadrilatero. Allora abbiamo
Perciò
Il teorema del coseno implica che
poiché entrambi i lati sono uguali al quadrato della lunghezza della diagonale BD. Ciò può essere riscritto nella forma
Sostituendo questo nella formula di sopra per , si ottiene
Questo può essere scritto come
Introducendo il semiperimetro
la formula sopra diventa
da cui segue la formula di Bretschneider.
Formule affini
La formula di Bretschneider generalizza la formula di Brahmagupta per l'area di un quadrilatero ciclico, la quale a sua volta generalizza la formula di Erone per l'area di un triangolo. Si nota infatti che, per un quadrilatero ciclico, l'argomento del coseno è , quindi il coseno è nullo e il secondo termine del radicando scompare.
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Formula di Bretschneider, in MathWorld, Wolfram Research.