Formula di Bretschneider

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Un quadrilatero.

In geometria, la formula di Bretschneider per il calcolo dell'area di un quadrilatero corrisponde alla seguente espressione:

Dove a, b, c, d sono i lati del quadrilatero, p è il semiperimetro, e sono i due angoli opposti.

La scoperta di tale formula si deve al matematico tedesco Carl Anton Bretschneider nel 1842. La formula di Bretschneider funziona per ogni quadrilatero, a prescindere dal fatto che esso sia ciclico o meno.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Indichiamo con A l'area del quadrilatero. Allora abbiamo

Perciò

Il teorema del coseno implica che

poiché entrambi i lati sono uguali al quadrato della lunghezza della diagonale BD. Ciò può essere riscritto nella forma

Sostituendo questo nella formula di sopra per , si ottiene

Questo può essere scritto come

Introducendo il semiperimetro

la formula sopra diventa

da cui segue la formula di Bretschneider.

Formule affini[modifica | modifica wikitesto]

La formula di Bretschneider generalizza la formula di Brahmagupta per l'area di un quadrilatero ciclico, la quale a sua volta generalizza la formula di Erone per l'area di un triangolo. Si nota infatti che, per un quadrilatero ciclico, l'argomento del coseno è , quindi il coseno è nullo e il secondo termine del radicando scompare.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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