Onda elettromagnetica in un conduttore

Un'onda elettromagnetica che incide su un conduttore ha come effetto sui conduttori di accelerare gli elettroni liberi che si muoveranno di moto oscillatorio forzato come l'onda. L'onda però non attraversa il conduttore, ma la maggior parte riflette e un'altra parte si dissipa per effetto Joule.

Le relative equazioni di Maxwell si modificano opportunamente nel caso di un conduttore ohmico omogeneo e isotropo:

$a)\ {\begin{cases}\nabla ^{2}{\vec {E}}-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}-\sigma \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=0\\\nabla ^{2}{\vec {H}}-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}-\sigma \mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=0\end{cases}}$

Esse si possono ricavare dalla legge di Ohm generalizzata:

$b)\ {\vec {J}}=\sigma {\vec {E}}$

dove $\sigma$ è la conducibilità elettrica e ${\vec {J}}$ è la densità di corrente. Riscriviamo le equazioni di Maxwell:

${\begin{cases}1)\ &{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho \\2)\ &{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0\\3)\ &{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\\4)\ &{\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\end{cases}}$

dove ${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$ e ${\vec {H}}={\frac {\vec {B}}{\mu }}$, nel caso di materiale omogeneo ed isotropo.

Dalla quarta equazione allora sostituendo a ${\vec {J}}$ la legge di Ohm:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}=\sigma {\vec {E}}+\epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Ora applicando il rotore ed usando le solite relazioni tra operatori:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}=-\nabla ^{2}{\vec {H}}+{\vec {\nabla }}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {H}}=\sigma ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})+\epsilon {\frac {\partial }{\partial t}}({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})$

sapendo che nella seconda uguaglianza, ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {H}}={\frac {1}{\mu }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}})=0$, che per la seconda equazione di Maxwell è nullo e per la terza equazione di Maxwell ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial H}{\partial t}}$. Questo procedimento si applica in maniera speculare alla terza equazione di Maxwell riuscendo le equazioni di Maxwell nei conduttori, che riscriviamo:

$a)\ {\begin{cases}\nabla ^{2}{\vec {E}}-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}-\sigma \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=0\\\nabla ^{2}{\vec {H}}-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}-\sigma \mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=0\end{cases}}$

La soluzione generale nel caso di onda piana che si propaga nella direzione x è:

$\phi (x,t)=\Phi (x)e^{j\omega t}$

dove j è l'unità immaginaria e la funzione complessa $\Phi (x)$ ha soluzione del tipo:

$\Phi (x)=Ae^{j\alpha x}$

dove $\alpha ^{2}=\omega ^{2}\epsilon \mu -j\omega \sigma \mu$

con parte reale e immaginaria data da:

$\Re (\alpha )=\omega {\sqrt {{\frac {\epsilon \mu }{2}}\left(1\pm {\sqrt {1+{\frac {\sigma ^{2}}{\omega ^{2}\epsilon ^{2}}}}}\right)}}$

$\Im (\alpha )={\frac {\omega \sigma \mu }{2\cdot \Re (\alpha )}}$

In definitiva l'onda piana assume una soluzione del tipo:

$\phi (x,t)=Ae^{\Im (\alpha )\cdot x}e^{j(\Re (\alpha )\cdot x+\omega t)}$

A questo punto l'onda trasferisce un'oscillazione smorzata per $\Re (\alpha )<0$ con coefficiente di attenuazione $|\Im (\alpha )|$.

Conclusioni

Analogamente alle onde che incidono su un conduttore ohmico si parla di effetto pelle nel caso un conduttore sia percorso da corrente alternata, allora l'oscillazione è maggiore sullo strato superficiale del conduttore. Inoltre l'incidenza di onde elettromagnetiche provocano i fenomeni di rifrazione e riflessione.

Voci correlate

• Onda
• Radiazione elettromagnetica
• Campo elettromagnetico
• Equazioni di Maxwell
• Corrente elettrica
• Corrente alternata
• Effetto pelle
• Riflessione
• Rifrazione

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