Trasformata zeta

In matematica e nella teoria dei segnali, la trasformata-z converte un segnale discreto nel dominio del tempo (che non è altro che una sequenza di numeri reali) in una rappresentazione nel dominio della frequenza.

Definizione

La trasformata-z, come molte altre trasformate integrali, può essere definita sia come unilatera che come bilatera.

Regione di convergenza

La regione di convergenza (RdC) è la parte di piano complesso dove la serie che definisce la Z-trasformata di un segnale converge.

$RdC=\{z:\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}<\infty \}\$

Converge per valori di z in modulo maggiori del raggio di convergenza definito come

$R=\limsup _{n\to \infty }\left|x[n]\right|^{-{\frac {1}{n}}}$ ;

qui si è definito il raggio di convergenza tramite il cosiddetto criterio della radice. Di applicazione meno generale è il [del rapporto] poiché esso richiede che i termini siano diversi da zero da un n arbitrario in poi. Nondimeno spesso è più agevole calcolare il limite tramite tale criterio piuttosto che utilizzando quello della radice. Nel caso entrambi i limiti esistano, essi coincidono.

Trasformata-Z Bilatera

La Z-trasformata bilatera di un segnale tempo discreto x[n] è la funzione X(z) definita come

$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\$

dove n è un intero e z è, in generale, un numero complesso:

$z=Ae^{j\phi }$

dove A è il modulo di z, e φ è la fase (in radianti).

Trasformata-Z Unilatera

Alternativamente, nei casi in cui x[n] è definita soltanto per n ≥ 0, la Z-trasformata unilatera è definita come

$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}\$

Nella teoria dei segnali, questa definizione è utilizzata quando il segnale è causale.

Trasformata-Z inversa

L'espressione della trasformata z inversa può essere ottenuta utilizzando il teorema integrale di Cauchy. In particolare, utilizzando questo teorema e partendo dalla relazione sulla trasformata-Z

$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\$

si ottiene:

$x(n)={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{\gamma }X(z)z^{n-1}\ dz$

dove gamma è un percorso antiorario chiuso che è situato nella regione di convergenza di X(z) e circonda l'origine del piano z. Questa relazione vale sia per n positivi, che per n negativi.

Tabella delle più comuni trasformate-Z

	Segnale, $x(n)$	Z-trasformata, $X(z)$	RdC
1	$\delta (n)\,$	$1\,$	$\forall z\in \mathbb {C}$
2	$u(n)\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|>1\,$
3	$a^{n}u(n)\,$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|>|a|\,$
4	$na^{n}u(n)\,$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|>|a|\,$
5	$-a^{n}u(-n-1)\,$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|<|a|\,$
6	$-na^{n}u(-n-1)\,$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|<|a|\,$
7	$\cos(\omega _{0}n)u(n)\,$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1\,$
8	$\sin(\omega _{0}n)u(n)\,$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1\,$
9	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u(n)\,$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|\,$
10	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u(n)\,$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|\,$

Teorema del valore iniziale e del valore finale

Analogamente a quanto si fa per la trasformata di Laplace, anche per la trasformata zeta si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale del campionamento partendo dalla sua trasformata:

• Teorema del valore iniziale

$x[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z)\$, se $x[n]\,$ è causale (ovvero nulla per n negativi)

• Teorema del valore finale

$x[\infty ]=\lim _{z\rightarrow 1}(1-z^{-1})X(z)\$, solamente se i poli di $(1-z^{-1})X(z)\$ sono all'interno del cerchio di raggio unitario

Voci correlate

• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Laplace
• Trasformata integrale

Bibliografia

• El Jury Theory and Applications of the z-Transform Method (John Wiley & Sons, NY, 1964)
• Yutaka Yamamoto Digital Control Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, 5, 445--457 (1999). PDF

Collegamenti esterni

• (EN) MathWorld Trasformata Zeta
• (EN) MathWorld Trasformata Zeta Unilaterale
• (EN) MathWorld Trasformata Zeta Bilaterale
• (EN) J. H. Matthews e R. W. Howell Introduction to the Z-transform (California State University, Fullerton)
• (EN) Springer Encyclopedia of Mathematics: Z-Transform