Automorfismo interno

Gli automorfismi interni di un gruppo sono gli automorfismi indotti da ogni elemento g del gruppo tramite coniugio. Infatti, fissato g, la funzione che associa a ogni x del gruppo il suo coniugato $g^{-1}xg$, è un omomorfismo iniettivo e suriettivo ovvero un isomorfismo. Inoltre due elementi g ed h che appartengono allo stesso laterale del centro Z inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se g=hz con z nel centro allora $g^{-1}xg$ = $z^{-1}h^{-1}xhz$ = $h^{-1}xh$. Ovviamente in un gruppo abeliano l'unico automorfismo interno è l' identità.

Nel gruppo simmetrico su n elementi, se n è diverso da 6, tutti gli automorfismi sono interni.