Involuta: differenze tra le versioni

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In matematica, date due curve $\gamma$ e $\delta$ , si dice che $\delta$ è involuta (o evolvente) di $\gamma$ , o che $\gamma$ è evoluta di $\delta$ , se $\delta$ appartiene allo spazio generato dal vettore tangente di $\gamma$ per ogni punto del dominio e se gli spazi 1-dimensionali generati dai vettori tangenti di $\gamma$ e $\delta$ siano ortogonali in tutto il loro dominio. Per esempio la curva dei centri dei cerchi osculatori di $\gamma$ è un’evoluta di $\gamma$ .

Geometricamente, un'involuta, è un particolare tipo di curva che dipende da un'altra forma o curva. L'involuta di una curva è il luogo dei punti toccati dall'estremo di un pezzo di corda tesa mentre viene avvolta (o srotolata, in modo geometricamente equivalente) attorno alla curva data.^[1]

Le involute appartengono alla famiglia di curve chiamate roulette.

L'evoluta di un'involuta è quindi la curva originaria.

Le nozioni di involuta e di evoluta di una curva furono introdotte da Christiaan Huygens nel suo lavoro intitolato Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato dimostrationes geometricae (1673).^[2]

Involuta di una curva parametrizzata

Sia ${\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ una curva regolare sul piano con curvatura mai nulla e $a\in (t_{1},t_{2})$ , allora la curva con la rappresentazione parametrica

{\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw

è un'involuta della curva data.

Dimostrazione

Aggiungendo di un numero arbitrario ma fisso $l_{0}$ all'integrale $\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw,$ risulta in un'involuta corrispondente a una corda estesa di $l_{0}$ (come una palla di filo si lana, avente una certa lunghezza di filo già appeso prima che sia svolto). Quindi, l'involuta può variare di una costante $a$ e/o aggiungendo un numero all'integrale (vedi involuta di una parabola semicubica).

Se ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ si ottiene

{\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw.\end{aligned}}

Proprietà delle involute

Per ricavare le proprietà di una curva regolare è vantaggioso utilizzare la lunghezza dell'arco $s$ come il parametro della curva assegnata, che porta alle seguenti semplificazioni: $|{\vec {c}}'(s)|=1\;$ e ${\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)$ , con $\kappa$ la curvatura e ${\vec {n}}$ l'unità normale. Si ottiene per l'involuta:

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)

e

{\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)

oltre al seguente risultato:

nel punto ${\vec {C}}_{a}(a)$ l'involuta non è regolare (perché $|{\vec {C}}_{a}'(a)|=0$ ).

Da ${\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0$ segue che:

La normale dell'involuta al punto ${\vec {C}}_{a}(s)$ è la tangente della curva data nel punto ${\vec {c}}(s)$ .
Le involute sono curve parallele, poiché ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ e poiché ${\vec {c}}'(s)$ è il vettore unitario normale a ${\vec {C}}_{0}(s)$ .

Esempi

Involuta di una circonferenza

Per una circonferenza con rappresentazione parametrica $(r\cos(t),r\sin(t))$ , si ha ${\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)$ . Quindi $|{\vec {c}}'(t)|=r$ e la lunghezza del percorso è $r(t-a)$ .

Calcolando l'equazione sopra indicata dell'involuta, si ottiene

{\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}

per l'equazione parametrica dell'involuta della circonferenza.

La lunghezza dell'arco per $a=0$ e $0\leq t\leq t_{2}$ dell'involuta è

L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.

Involute di una parabola semicubica

L'equazione parametrica ${\vec {c}}(t)=({\frac {t^{3}}{3}},{\frac {t^{2}}{2}})$ , l'equazione dell'involuta è quindi

{\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}

Eliminando $t$ si ottiene $Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},$ dimostrando che questa involuta è una parabola.

Le altre involute sono quindi curve parallele di una parabola e non sono parabole, poiché sono curve di grado sei.

L'involuta (rossa) di una catenaria (blu) è una trattrice.

Involute di una catenaria

Per la catenaria $(t,\cosh t)$ , il vettore tangente è ${\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)$ , e come $1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,$ la sua lunghezza è $|{\vec {c}}'(t)|=\cosh t$ . Quindi la lunghezza dell'arco dal punto (0, 1) è $\textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.$

Quindi l'involuta a partire da $(0,1)$ è parametrizzata da

(t-\tanh t,1/\cosh t),

ed è quindi una trattrice.

Le altre involute non sono trattrici, poiché sono curve parallele di una trattrice.

Involute di una cicloide

La rappresentazione parametrica ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ descrive una cicloide. A partire dal ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$ , si ottiene (dopo aver usato alcune formule trigonometriche)

|{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},

e

\int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.

Quindi le equazioni dell'involuta corrispondente sono

{\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}

che descrivono la cicloide rossa spostata del diagramma. Quindi le involute della cicloide $(t-\sin t,1-\cos t)$ sono curve parallele della cicloide

(t-\tanh t,1/\cosh t).

Le curve parallele di una cicloide non sono cicloidi.

Involute ed evolute

L'evoluta di una data curva $c_{0}$ è costituita dai centri di curvatura di $c_{0}$ . Tra involute ed evolute vale la seguente relazione:^[3]^[4]

Una curva è l'evoluta di una qualsiasi delle sue evolventi (involute).

Applicazioni

L'involuta ha alcune proprietà che lo rendono estremamente importante per l'industria degli ingranaggi: se due ingranaggi a maglie incrociate hanno denti con la forma del profilo di involute (piuttosto che, ad esempio, una forma triangolare tradizionale), formano un sistema di ingranaggi a spirale. Le loro velocità di rotazione relative sono costanti mentre i denti sono impegnati. Gli ingranaggi inoltre entrano sempre in contatto lungo un'unica linea di forza costante. Con denti di altre forme, le velocità e le forze relative aumentano e diminuiscono quando i denti successivi si impegnano, provocando vibrazioni, rumore e usura eccessiva. Per questo motivo, quasi tutti i moderni ingranaggi hanno la forma a evolvente.^[5]

Voci correlate

Collegamenti esterni

Involuta in MathWorld

Note

^ J.W. Rutter, Geometry of Curves, CRC Press, 2000, pp. 204, ISBN 9781584881667.
^ John McCleary, Geometry from a Differentiable Viewpoint, Cambridge University Press, 2013, pp. 89, ISBN 9780521116077.
^ K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ..., Springer-Verlag, 2012,ISBN 3834883468, S. 30.
^ R. Courant:Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band, Springer-Verlag, 1955, S. 267.
^ V. G. A. Goss (2013) "Application of analytical geometry to the shape of gear teeth", Resonance 18(9): 817 to 31 Springerlink (subscription required).

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su evolvente

[1] J.W. Rutter, Geometry of Curves, CRC Press, 2000, pp. 204, ISBN 9781584881667.

[2] John McCleary, Geometry from a Differentiable Viewpoint, Cambridge University Press, 2013, pp. 89, ISBN 9780521116077.

[3] K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ..., Springer-Verlag, 2012,ISBN 3834883468, S. 30.

[4] R. Courant:Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band, Springer-Verlag, 1955, S. 267.

[5] V. G. A. Goss (2013) "Application of analytical geometry to the shape of gear teeth", Resonance 18(9): 817 to 31 Springerlink (subscription required).

[1]

[2]

[3]

[4]

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+[[File:Evolvente-parabel.svg|miniatura|Due involute (rosso) di una parabola]]
-{{S|geometria}}
-[[File:Evolvente-parabel.svg|miniatura| Due involute (rosso) di una parabola ]]
-In [[matematica]], date due curve '''<math>\gamma</math> '''e <math>\delta</math>, si dice che <math>\delta</math> è '''involuta''' (o '''evolvente''') di <math>\gamma</math>, o che <math>\gamma</math> è [[evoluta]] di <math>\delta</math>,  se <math>\delta</math> appartiene allo spazio generato dal vettore tangente di <math>\gamma</math> per ogni punto del dominio e se gli spazi 1-dimensionali generati dai vettori tangenti di <math>\gamma</math> e <math>\delta</math> siano ortogonali in tutto il loro dominio. Per esempio la curva dei centri dei cerchi osculatori di <math>\gamma</math> è un’evoluta di <math>\gamma</math>.
+In [[matematica]], date due curve <math>\gamma</math> e <math>\delta</math>, si dice che <math>\delta</math> è '''involuta''' (o '''evolvente''') di <math>\gamma</math>, o che <math>\gamma</math> è [[evoluta]] di <math>\delta</math>, se <math>\delta</math> appartiene allo spazio generato dal vettore tangente di <math>\gamma</math> per ogni punto del dominio e se gli spazi 1-dimensionali generati dai vettori tangenti di <math>\gamma</math> e <math>\delta</math> siano ortogonali in tutto il loro dominio. Per esempio la curva dei centri dei cerchi osculatori di <math>\gamma</math> è un’evoluta di <math>\gamma</math>.
-Geometricamente, un''''involuta''', è un particolare tipo di [[Curva (matematica)|curva]] che dipende da un'altra forma o curva. L'involuta di una curva è il [[Luogo (geometria)|luogo]] dei punti toccati dall'estremo di un pezzo di corda tesa mentre viene avvolta (o srotolata, in modo geometricamente equivalente ) attorno alla curva data. <ref>{{Cita libro|autore=Rutter|nome=J.W.|titolo=Geometry of Curves|anno=2000|editore=CRC Press|città=|pp=204|ISBN=9781584881667}}</ref>
+Geometricamente, un''''involuta''', è un particolare tipo di [[Curva (matematica)|curva]] che dipende da un'altra forma o curva. L'involuta di una curva è il [[Luogo (geometria)|luogo]] dei punti toccati dall'estremo di un pezzo di corda tesa mentre viene avvolta (o srotolata, in modo geometricamente equivalente) attorno alla curva data.<ref>{{Cita libro|autore=Rutter|nome=J.W.|titolo=Geometry of Curves|anno=2000|editore=CRC Press|città=|pp=204|ISBN=9781584881667}}</ref>
-Le involute appartengono alla famiglia di curve chiamate [[Rulletta|roulette]] .
+Le involute appartengono alla famiglia di curve chiamate [[Rulletta|roulette]].
 L'[[evoluta]] di un'involuta è quindi la curva originaria.
-Le nozioni dell'involuta e dell'evoluta di una curva furono introdotte da [[Christiaan Huygens]] nel suo lavoro intitolato ''[[Horologium oscillatorium|Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato dimostrationes geometricae]]'' (1673). <ref>{{Cita libro|autore=McCleary|nome=John|titolo=Geometry from a Differentiable Viewpoint|anno=2013|editore=Cambridge University Press|città=|pp=89|ISBN=9780521116077}}</ref>
+Le nozioni di involuta e di evoluta di una curva furono introdotte da [[Christiaan Huygens]] nel suo lavoro intitolato ''[[Horologium oscillatorium|Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato dimostrationes geometricae]]'' (1673).<ref>{{Cita libro|autore=McCleary|nome=John|titolo=Geometry from a Differentiable Viewpoint|anno=2013|editore=Cambridge University Press|città=|pp=89|ISBN=9780521116077}}</ref>
 == Involuta di una curva parametrizzata ==
 Sia <math> \vec c(t),\; t\in [t_1,t_2] </math> una [[Curva (matematica)|curva regolare]] sul piano con [[curvatura]] mai nulla e <math>a\in (t_1,t_2)</math>, allora la curva con la rappresentazione parametrica
-<math>\vec C_a(t)=\vec c(t) -\frac{\vec c'(t)}{|\vec c'(t)|}\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw </math>
+:<math>\vec C_a(t)=\vec c(t) -\frac{\vec c'(t)}{|\vec c'(t)|}\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw </math>
 è un'''involuta'' della curva data.
-(Dimostrazione)
+=== Dimostrazione ===
+Aggiungendo di un numero arbitrario ma fisso <math>l_0</math> all'integrale <math>\int_a^t|\vec c'(w)|\; dw,</math> risulta in un'involuta corrispondente a una corda estesa di <math>l_0</math> (come una palla di filo si lana, avente una certa lunghezza di filo già appeso prima che sia svolto). Quindi, l'involuta può variare di una costante <math>a</math> e/o aggiungendo un numero all'integrale (vedi [[evolvente|involuta di una parabola semicubica]]).
-La corda funge da [[tangente]] alla curva (). La sua lunghezza viene modificata di un valore pari alla [[Lunghezza di un arco|lunghezza dell'arco]] attraversata mentre si snoda o si annoda. La lunghezza dell'arco della curva attraversata nell'intervallo () è dato da
-()
-dove () è il punto iniziale da cui viene misurata la lunghezza dell'arco. Poiché il vettore tangente rappresenta la corda tesa qui, otteniamo il vettore corda come
-()
-Il vettore corrispondente al punto finale della stringa () può essere facilmente calcolato utilizzando la [[somma vettoriale]] e si ottiene
-()
-Aggiungendo di un numero arbitrario ma fisso <math>l_0</math> all'integrale <math> \Bigl(\int_a^t|\vec c'(w)|\; dw\Bigr) </math> risulta in un'involuta corrispondente a una corda estesa di <math>l_0</math> (come una palla di filo si lana, avente una certa lunghezza di filo già appeso prima che sia svolto). Quindi, l'involuta può variare di una costante <math>a</math> e/o aggiungendo un numero all'integrale (vedi [[evolvente|Involuta di una parabola semicubica]] ).
 Se <math>\vec c(t)=(x(t),y(t))^T</math> si ottiene
-: <math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 X(t) &= x(t) - \frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \\
-Y(t) &= y(t) - \frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \; .
+Y(t) &= y(t) - \frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw.
 \end{align}</math>
 == Proprietà delle involute ==
-[[File:Involute(in_red)_of_parabola(dark_blue).png|alt=|miniatura| Involuta: proprietà. Gli angoli rappresentati sono di 90 gradi. ]]
+[[File:Involute(in_red)_of_parabola(dark_blue).png|alt=|miniatura| Involuta: proprietà. Gli angoli rappresentati sono di 90 gradi.]]
-Per ricavare le proprietà di una curva regolare è vantaggioso utilizzare la [[Lunghezza di un arco|lunghezza dell'arco]] <math>s</math> come il parametro della curva assegnata, che porta alle seguenti semplificazioni: <math>\;|\vec c'(s)|=1\;</math> e <math>\;\vec c''(s)=\kappa(s)\vec n(s)\;</math>, con <math>\kappa</math> la [[curvatura]] e <math>\vec n</math> l'unità normale. Si ottiene per l'involuzione:
+Per ricavare le proprietà di una curva regolare è vantaggioso utilizzare la [[Lunghezza di un arco|lunghezza dell'arco]] <math>s</math> come il parametro della curva assegnata, che porta alle seguenti semplificazioni: <math>|\vec c'(s)|=1\;</math> e <math>\vec c''(s)=\kappa(s)\vec n(s)</math>, con <math>\kappa</math> la [[curvatura]] e <math>\vec n</math> l'unità normale. Si ottiene per l'involuta:
-: <math>\vec C_a(s)=\vec c(s) -\vec c'(s)(s-a)\ </math> e
+:<math>\vec C_a(s)=\vec c(s) -\vec c'(s)(s-a)</math> e
-: <math>\vec C_a'(s)=-\vec c''(s)(s-a)=-\kappa(s)\vec n(s)(s-a)\; </math>
+:<math>\vec C_a'(s)=-\vec c''(s)(s-a)=-\kappa(s)\vec n(s)(s-a)</math>
+oltre al seguente risultato:
-e la dichiarazione:
-* Al punto <math> \vec C_a(a)</math> l'involuta ''non'' è ''regolare'' (perché <math>| \vec C_a'(a)|=0</math> ),
+* nel punto <math> \vec C_a(a)</math> l'involuta ''non'' è regolare (perché <math>| \vec C_a'(a)|=0</math>).
-e da <math>\; \vec C_a'(s)\cdot\vec c'(s)=0 \;</math> segue:
+Da <math>\vec C_a'(s)\cdot\vec c'(s)=0</math> segue che:
-* La normale dell'involuta al punto <math>\vec C_a(s)</math> è la tangente della curva data nel punto <math>\vec c(s)</math> .
+* La normale dell'involuta al punto <math>\vec C_a(s)</math> è la tangente della curva data nel punto <math>\vec c(s)</math>.
-* Le involute sono [[ Curva parallela |curve parallele]], poiché  <math>\vec C_a(s)=\vec C_0(s)+a\vec c'(s)</math> e il fatto, quello <math>\vec c'(s)</math> è l'unità normale a <math>\vec C_0(s)</math> .
+* Le involute sono [[Curva parallela|curve parallele]], poiché <math>\vec C_a(s)=\vec C_0(s)+a\vec c'(s)</math> e poiché <math>\vec c'(s)</math> è il vettore unitario normale a <math>\vec C_0(s)</math>.
 == Esempi ==
-=== Involuta di un cerchio ===
+=== Involuta di una circonferenza ===
-[[File:Evolvente-kreis.svg|miniatura| Involuta di un cerchio ]]
+[[File:Evolvente-kreis.svg|miniatura|Involuta di una circonferenza]]
-Per un cerchio con rappresentazione parametrica <math>(r\cos(t), r\sin(t))</math>, si ha ha <math>\vec c'(t) = (-r\sin t, r\cos t)</math> . Quindi <math>|\vec c'(t)| = r</math> e la lunghezza del percorso è <math>r(t - a)</math> .
+Per una circonferenza con rappresentazione parametrica <math>(r\cos(t), r\sin(t))</math>, si ha <math>\vec c'(t) = (-r\sin t, r\cos t)</math>. Quindi <math>|\vec c'(t)| = r</math> e la lunghezza del percorso è <math>r(t - a)</math>.
-Valutando l'equazione sopra indicata, si ottiene
+Calcolando l'equazione sopra indicata dell'involuta, si ottiene
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 X(t) &= r(\cos t + (t - a)\sin t)\\
 Y(t) &= r(\sin t - (t - a)\cos t)
-\end{align}</math>()
+\end{align}</math>
-per l' [[equazione parametrica]] della spirale del cerchio.
+per l'[[equazione parametrica]] dell'involuta della circonferenza.
+La lunghezza dell'arco per <math>a=0</math> e <math>0 \le t \le t_2</math> dell'involuta è
-e
-La lunghezza dell'arco per <math>a=0</math> e <math>0 \le t \le t_2</math> dell'incavo è
+:<math>L = \frac{r}{2} t_2^2.</math>
+[[File:Evolvente-np.svg|miniatura|300x300px|Involute di una parabola semicubica (blu). Solo la curva rossa è una vera parabola.]]
-: <math>L = \frac{r}{2} t_2^2.</math>
-[[File:Evolvente-np.svg|miniatura|300x300px| Involute di una parabola semicubica (blu). Solo la curva rossa è una vera parabola. ]]
+=== Involute di una parabola semicubica===
+L'[[equazione parametrica]] <math>\vec c(t) = (\frac{t^3}{3},\frac{t^2}{2})</math>, l'equazione dell'involuta è quindi
+:<math>\begin{align}
-=== Involute di una catenaria ===
+X(t)&= -\frac{t}{3}\\
-L' [[equazione parametrica]] dell'involuta è quindi <math>\vec c(t) = (t - \sin t, 1 - \cos t)</math>
+Y(t) &= \frac{t^2}{6} - \frac{1}{3}.
+\end{align}</math>
+Eliminando <math>t</math> si ottiene <math>Y = \frac{3}{2}X^2 - \frac{1}{3},</math> dimostrando che questa involuta è una [[Parabola (geometria)|parabola]].
-<nowiki/>**************
+Le altre involute sono quindi [[Curva parallela|curve parallele]] di una parabola e non sono parabole, poiché sono curve di grado sei.
-: <math>\begin{align} X(t)&= -\frac{t}{3}\\
+[[File:Involute.gif|miniatura|L'involuta (rossa) di una catenaria (blu) è una trattrice.]]
-Y(t) &= \frac{t^2}{6} - \frac{1}{3}.\end{align}</math>
+=== Involute di una catenaria ===
-Eliminando t si ottiene <math>Y = \frac{3}{2}X^2 - \frac{1}{3},</math> dimostrando che questa è l'involuta di una [[Parabola (geometria)|parabola]] .
-Le altre involute sono quindi [[ Curve parallele |curve parallele]] di una parabola e non sono parabole, poiché sono curve di grado sei.
-[[File:Involute.gif|miniatura| L'involuta (rossa) di una catenaria (blu) è una trattrice. ]]
-=== Involute di una cicloide ===
 Per la [[catenaria]] <math>(t, \cosh t)</math>, il vettore tangente è <math>\vec c'(t) = (1, \sinh t)</math>, e come <math> 1 + \sinh^2 t =\cosh^2 t,</math> la sua lunghezza è <math>|\vec c'(t)| = \cosh t</math> . Quindi la lunghezza dell'arco dal punto (0, 1) è <math>\textstyle\int_0^t \cosh w\,dw = \sinh t.</math>
-Quindi l'involuta a partire da (0, 1) è parametrizzato da
+Quindi l'involuta a partire da <math>(0, 1)</math> è parametrizzata da
-: <math>(t - \tanh t, 1/\cosh t),</math>
+:<math>(t - \tanh t, 1/\cosh t),</math>
 ed è quindi una [[Trattrice (geometria)|trattrice]].
 Le altre involute non sono trattrici, poiché sono curve parallele di una trattrice.
-[[File:Evolvente-np.svg|miniatura|300x300px| Involute di una parabola semicubica (blu). Solo la curva rossa è una vera parabola. ]]
+[[File:Evolvente-np.svg|miniatura|300x300px|Involute di una parabola semicubica (blu). Solo la curva rossa è una vera parabola.]]
-La rappresentazione parametrica <math>\vec c(t) = (t - \sin t, 1 - \cos t)</math> descrive una [[cicloide]] . A partire dal <math>\vec c'(t) = (1 - \cos t, \sin t)</math>, si ottiene (dopo aver usato alcune formule trigonometriche)
+=== Involute di una cicloide ===
-: <math>|\vec c'(t)| = 2\sin\frac{t}{2},</math>
+La rappresentazione parametrica <math>\vec c(t) = (t - \sin t, 1 - \cos t)</math> descrive una [[cicloide]]. A partire dal <math>\vec c'(t) = (1 - \cos t, \sin t)</math>, si ottiene (dopo aver usato alcune formule trigonometriche)
+:<math>|\vec c'(t)| = 2\sin\frac{t}{2},</math>
-L' [[evoluta]] di una data curva <math>c_0</math> è costituita dai centri di curvatura di <math>c_0</math>. Tra involute ed evolute vale la seguente dichiarazione: <ref>K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: ''Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ...'', Springer-Verlag, 2012,{{ISBN|3834883468}}, S. 30.</ref> <ref>R. Courant:''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band'', Springer-Verlag, 1955, S. 267.</ref>
+e
-: <math>\int_\pi^t 2\sin\frac{w}{2}\,dw = -4\cos\frac{t}{2}.</math>
+:<math>\int_\pi^t 2\sin\frac{w}{2}\,dw = -4\cos\frac{t}{2}.</math>
-Quindi le equazioni del corrispondente involuto sono
+Quindi le equazioni dell'involuta corrispondente sono
-: <math>\begin{align} X(t)&= -\frac{t}{3}\\
-Y(t) &= \frac{t^2}{6} - \frac{1}{3}.\end{align}</math>
+:<math>\begin{align}
-che descrivono la cicloide rossa spostata del diagramma. Quindi
+X(t)&= -\frac{t}{3}\\
+Y(t) &= \frac{t^2}{6} - \frac{1}{3}.
+\end{align}</math>
-* Le involute della cicloide <math>(t - \sin t, 1 - \cos t)</math> sono curve parallele della cicloide
+che descrivono la cicloide rossa spostata del diagramma. Quindi le involute della cicloide <math>(t - \sin t, 1 - \cos t)</math> sono curve parallele della cicloide
-: <math>(t - \tanh t, 1/\cosh t),</math>
+:<math>(t - \tanh t, 1/\cosh t).</math>
-(Le curve parallele di una cicloide non sono cicloidi. )
+Le curve parallele di una cicloide non sono cicloidi.
 == Involute ed evolute ==
-L' [[evoluta]] di una data curva <math>c_0</math> è costituita dai centri di curvatura di <math>c_0</math>. Tra involute ed evolutei vale la seguente dichiarazione: <ref>K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: ''Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ...'', Springer-Verlag, 2012,{{ISBN|3834883468}}, S. 30.</ref> <ref>R. Courant:''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band'', Springer-Verlag, 1955, S. 267.</ref>
+L'[[evoluta]] di una data curva <math>c_0</math> è costituita dai centri di curvatura di <math>c_0</math>. Tra involute ed evolute vale la seguente relazione:<ref>K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: ''Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und ...'', Springer-Verlag, 2012,{{ISBN|3834883468}}, S. 30.</ref><ref>R. Courant:''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band'', Springer-Verlag, 1955, S. 267.</ref>
-: ''Una curva è l'evoluta di una qualsiasi delle sue evolventi (involute).''
+:''Una curva è l'evoluta di una qualsiasi delle sue evolventi (involute).''
-{{Gallery|File:Involute.gif|Tractrix (red) as an involute of a catenary|File:Evolute2.gif|The evolute of a tractrix is a catenary|title=Involute and evolute|width=160|height=170|align=center|alt2=Involute of a catenary|alt3=Evolute of a tractrix}}
+[[File:Involute.gif|Tractrix (red) as an involute of a catenary|File:Evolute2.gif|The evolute of a tractrix is a catenary|title=Involute and evolute|width=160|height=170|align=center|alt2=Involute of a catenary|alt3=Evolute of a tractrix]]
 == Applicazioni ==
-L'involuta ha alcune proprietà che lo rendono estremamente importante per l'industria degli [[Ingranaggio|ingranaggi]]: se due ingranaggi a maglie incrociate hanno denti con la forma del profilo di involute (piuttosto che, ad esempio, una forma triangolare tradizionale), formano un sistema di [[ Ingranaggio a spirale |ingranaggi a spirale]]. Le loro velocità di rotazione relative sono costanti mentre i denti sono impegnati. Gli ingranaggi inoltre entrano sempre in contatto lungo un'unica linea di forza costante. Con denti di altre forme, le velocità e le forze relative aumentano e diminuiscono quando i denti successivi si impegnano, provocando vibrazioni, rumore e usura eccessiva. Per questo motivo, quasi tutti i moderni ingranaggi hanno la forma a evolvente. <ref>V. G. A. Goss (2013) "Application of analytical geometry to the shape of gear teeth", [[Resonance (journal)|Resonance]] 18(9): 817 to 31 [https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs12045-013-0106-3 Springerlink] (subscription required).</ref>
+L'involuta ha alcune proprietà che lo rendono estremamente importante per l'industria degli [[Ingranaggio|ingranaggi]]: se due ingranaggi a maglie incrociate hanno denti con la forma del profilo di involute (piuttosto che, ad esempio, una forma triangolare tradizionale), formano un sistema di [[ Ingranaggio a spirale |ingranaggi a spirale]]. Le loro velocità di rotazione relative sono costanti mentre i denti sono impegnati. Gli ingranaggi inoltre entrano sempre in contatto lungo un'unica linea di forza costante. Con denti di altre forme, le velocità e le forze relative aumentano e diminuiscono quando i denti successivi si impegnano, provocando vibrazioni, rumore e usura eccessiva. Per questo motivo, quasi tutti i moderni ingranaggi hanno la forma a evolvente.<ref>V. G. A. Goss (2013) "Application of analytical geometry to the shape of gear teeth", [[Resonance (journal)|Resonance]] 18(9): 817 to 31 [https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs12045-013-0106-3 Springerlink] (subscription required).</ref>
-[[File:Two_moving_spirals_scroll_pump.gif|riquadrato| Meccanismo di un compressore scroll ]]
+[[File:Two_moving_spirals_scroll_pump.gif|riquadrato|Meccanismo di un compressore scroll]]
-== Vedi anche ==
+== Voci correlate ==
 * [[Evoluta]]
 * [[ Compressore Scroll |Compressore scroll]]
@@ Riga 143: / Riga 129: @@
 * [[Rulletta|Roulette (curva)]]
-== link esterni ==
+== Collegamenti esterni ==
 * [http://mathworld.wolfram.com/Involute.html Involuta] in [[MathWorld]]
 == Note ==

Involuta: differenze tra le versioni

Versione delle 14:23, 15 set 2021

Indice