Teorema di Rellich-Kondrakov: differenze tra le versioni
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Sia <math>\Omega \subseteq \R^n</math> un [[dominio lipschitziano]] aperto e [[insieme limitato|limitato]], e sia <math>p \in \R</math>. Sia |
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⚫ | * se p=n, lo [[spazio di Sobolev]] <math>W^{1,p}(\Omega, \R)</math> è [[immersione compatta|immerso con compattezza]] nello spazio <math>L^{q}(\Omega, \R)</math>, per ogni <math>1 \le q < \infty</math>: <math>W^{1, p} (\Omega) \hookrightarrow L^{q} (\Omega) \qquad W^{1, p} (\Omega) \subset \subset L^{q} (\Omega) \quad 1 \leq q < \infty;</math> |
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* se p>n, lo [[spazio di Sobolev]] <math>W^{1,p}(\Omega, \R)</math> è [[immersione compatta|immerso con compattezza]] nello spazio <math>C(\bar\Omega, \R)</math>: <math>W^{1, p} (\bar \Omega) \hookrightarrow C(\bar \Omega) \qquad W^{1, p} (\Omega) \subset \subset C (\bar \Omega) \quad 1 \leq q < \infty;</math> |
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==Conseguenze== |
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Versione delle 10:35, 16 mag 2020
In matematica, il teorema di Rellich-Kondrachov è un risultato relativo all'immersione compatta in spazi di Sobolev. Il nome del teorema è dovuto a Franz Rellich e Vladimir Iosifovich Kondrashov: Rellich mostrò il teorema in spazi , mentre Kondrashov fornì il caso di .
Enunciato
Sia un dominio lipschitziano aperto e limitato, e sia . Sia
allora
- se , lo spazio di Sobolev è immerso con continuità nello spazio Lp , ed è immerso con compattezza nello spazio , per ogni :
- se p=n, lo spazio di Sobolev è immerso con compattezza nello spazio , per ogni :
- se p>n, lo spazio di Sobolev è immerso con compattezza nello spazio :
Conseguenze
Dal momento che un'immersione è compatta se e solo se l'operatore di inclusione è compatto, il teorema di Rellich-Kondrakov implica che ogni successione uniformemente limitata in possiede una sottosuccessione convergente in . Enunciato in tal modo, questo risultato è conosciuto come teorema "di selezione" di Rellich-Kondrakov.
Il teorema di Rellich-Kondrakov può essere utilizzato per dimostrare la disuguaglianza di Poincaré, che afferma che per (dove soddisfa le medesime assunzioni poste in precedenza):
per qualche costante dipendente soltanto da p e dalla geometria del dominio , dove:
denota il valor medio di su .
Bibliografia
- (EN) Evans, Lawrence C., Differential Equations, Partial, 2nd, American Mathematical Society, 2010, ISBN 0-8218-4974-3.
- (DE) Franz Rellich, Ein Satz über mittlere Konvergenz, in Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, vol. 1930, 24 gennaio 1930, pp. 30-35, Zbl 56.0224.02.
Voci correlate
- Disuguaglianza di Sobolev (Teorema di immersione di Sobolev)
- Immersione continua
- Immersione compatta
- Operatore compatto
- Spazio di Sobolev
- Spazio Lp
Collegamenti esterni
- (EN) Rellich selection theorem, in PlanetMath.