Disuguaglianza di Poincaré

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In analisi funzionale, una branca della matematica, con il nome di disuguaglianza di Poincaré si intendono due risultati simili riguardanti gli spazi di Sobolev che permettono di controllare la norma di una funzione con quella della sua derivata debole. È un risultato di fondamentale importanza nel moderno calcolo delle variazioni.

Disuguaglianza di Poincaré classica[modifica | modifica wikitesto]

Sia 1\leq p < \infty e \Omega un insieme aperto limitato di \R^n. Allora esiste una costante C dipendente solo da \Omega e p tale che

\|u\|_{L^p(\Omega)} \leq C \|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}

per ogni u \in W^{1,p}_0(\Omega), dove quest'ultimo spazio è dato dalla chiusura di C^\infty_c(\Omega) nello spazio di Sobolev W^{1,p}(\Omega). Col simbolo \nabla u si intende il gradiente debole, essendo in uno spazio di Sobolev.

La conseguenza più immediata, e che rappresenta la grandezza del risultato, è che in questo sottospazio (che è il dominio più naturale per studiare equazioni alle derivate parziali con condizioni al bordo omogenee) la norma del gradiente di u è una quantità equivalente, ai fini della topologia indotta e quindi delle convergenze, alla usuale norma \|u\|_{W^{1,p}}. Si ha infatti

\|\nabla u\|_p^p \leq \|u\|_{W^{1,p}}^p=\|u\|_p^p+\|\nabla u\|_p^p\leq (1+C^p)\|\nabla u\|_p^p

In particolare, per p=2 si ha che nello spazio di Hilbert H^1_0(\Omega) un prodotto scalare equivalente all'usuale è

(u,v)_{H^1_0(\Omega)}=\int_\Omega \nabla u \nabla v\, \text{d}^nx

La costante ottimale[modifica | modifica wikitesto]

Determinare la costante C ottimale che si può utilizzare nella disuguaglianza è un compito arduo e dipendente fortemente da p e dalla geometria del dominio. Tale costante ottima è data dall'inverso del valore del seguente problema di minimo vincolato

\min \{\|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}\, :\, \|u\|_{L^p(\Omega)}=1\}

Si può dimostrare che per p=2 tale minimo coincide con \sqrt{\lambda_1}, con \lambda_1 il primo autovalore dell'operatore laplaciano con condizioni di Dirichlet omogenee, cioè il più piccolo numero reale positivo tale che il seguente problema di Dirichlet ammetta soluzioni non nulle in W^{1,2}_0(\Omega)

\begin{matrix}-\Delta u=\lambda u && \mbox{ in } \Omega \\ u=0 && \mbox{ su } \part \Omega\end{matrix}

Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger[modifica | modifica wikitesto]

Un risultato correlato è la disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger: sia 1\leq p \leq \infty e \Omega un aperto connesso di \R^n con bordo sufficientemente regolare (ad esempio lipschitziano). Allora esiste una costante C dipendente da \Omega e da p tale che

\| u - u_{\Omega} \|_{L^{p} (\Omega)} \leq C \| \nabla u \|_{L^{p} (\Omega)},

per ogni u \in W^{1,p}(\Omega), dove

u_{\Omega} = \frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} u(y) \, \mathrm{d} y

è la media integrale di u. Si osservi che se si rimuove l'ipotesi di connessione su \Omega, la disuguaglianza non sussiste più. Analogamente al caso precedente, si può mostrare che la migliore costante coincide con 1/\sqrt{\mu_2}, ove \mu_2 è il primo autovalore non nullo dell'operatore laplaciano con condizioni di Neumann omogenee.

Da questo risultato si deduce, grazie alla disuguaglianza di Sobolev, che se p<n

\|u-u_{\Omega}\|_{L^{p^*}(\Omega)} \leq C \|\nabla u\|_{L^p(\Omega)}

per ogni u \in W^{1,p}(\Omega), dove p^* = {np \over n-p}.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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