Somma di Dedekind

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In matematica, le somme di Dedekind, così chiamate in onore di Richard Dedekind, sono funzioni di tre argomenti a valori interi esprimibili mediante specifiche somme di prodotti di valori della funzione a denti di sega. Dedekind le ha introdotte per formulare l'equazione funzionale della funzione eta di Dedekind. In seguito, queste funzioni speciali sono state ampiamente studiate nella teoria dei numeri e sono risultate utili in alcuni problemi di topologia. Le somme di Dedekind soddisfano un gran numero di relazioni, di cui solo alcune compaiono in questa voce.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo una particolare funzione a denti di sega definita come segue

Si tratta di una funzione avente come dominio l'insieme dei numeri reali e come codominio . È una funzione periodica dispari con periodo uguale a 1 ed è discontinua solo in corrispondenza dei valori interi del suo argomento.

Possiamo allora definire la funzione

ponendo

dove le espressioni al secondo membro sono chiamate somme di Dedekind.

Un'importante riduzione della funzione si ha ponendo a=1; essa in genere viene denotata con

Proprietà elementari[modifica | modifica wikitesto]

Dalla definizione segue subito che D è simmetrica rispetto allo scambio dei primi due argomenti:

e che, per la disparità della (()),

D(−a,b;c) = −D(a,b;c),
D(a,b;−c) = D(a,b;c).

Chiaramente, la D è periodica in ciascuno dei suoi primi due argomenti, il terzo argomento essendo la lunghezza del periodo sia per a che per b:

D(a,b;c)=D(a+kc,b+lc;c), per tutti gli interi k,l.

Se d è un intero positivo, allora

D(ad,bd;cd) = dD(a,b;c),
D(ad,bd;c) = D(a,b;c), if (d,c) = 1,
D(ad,b;cd) = D(a,b;c), if (d,b) = 1.

L'ultima uguaglianza si può dimostrare servendosi della proprietà

Inoltre la az = 1 (mod c) implica D(a,b;c) = D(1,bz;c).

Caso particolare[modifica | modifica wikitesto]

Se b e c sono numeri coprimi, per la s(b,c) si ha l'espressione

dove la somma riguarda le c-esime radici dell'unità diverse da 1, ossia l'insieme dei valori tali che ma .

If b, c > 0 sono coprimi, allora

Legge di reciprocità[modifica | modifica wikitesto]

Se b e c sono interi positivi coprimi, allora

Riscritta questa equazione nella forma

segue che il numero 6c s(b,c) è un intero.

Se k = (3, c), allora

e

Segnaliamo una relazione di grande rilievo nella teoria delle funzione eta di Dedekind. Sia q = 3, 5, 7 or 13 e sia n = 24/(q − 1). In tal caso dati interi a, b, c, d con ad − bc = 1 (e quindi appartenente al gruppo modulare), con c scelto in modo che sia c = kq per qualche intero k > 0, definiamo

.

Ne segue che nδ è un intero pari.

Generalizzazione di Rademacher della legge di reciprocità[modifica | modifica wikitesto]

Hans Rademacher ha trovato la seguente generalizzazione della legge di reciprocità per le somme di Dedekind.[1] Se a,b e c sono interi positivi mutuamente coprimi, allora

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hans Rademacher, Generalization of the Reciprocity Formula for Dedekind Sums, Duke Mathematical Journal 21 (1954), pp. 391-397

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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