Somma di Dedekind

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, le somme di Dedekind, così chiamate in onore di Richard Dedekind, sono funzioni di tre argomenti a valori interi esprimibili mediante specifiche somme di prodotti di valori della funzione a denti di sega. Dedekind le ha introdotte per formulare l'equazione funzionale della funzione eta di Dedekind. In seguito, queste funzioni speciali sono state ampiamente studiate nella teoria dei numeri e sono risultate utili in alcuni problemi di topologia. Le somme di Dedekind soddisfano un gran numero di relazioni, di cui solo alcune compaiono in questa voce.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo una particolare funzione a denti di sega definita come segue

Si tratta di una funzione avente come dominio l'insieme dei numeri reali e come codominio . È una funzione periodica con periodo pari a 1 ed è discontinua solo in corrispondenza dei valori interi e dispari del suo argomento, cioè tali che .

Possiamo allora definire la funzione

ponendo

dove le espressioni al secondo membro sono chiamate somme di Dedekind.

Un'importante riduzione della funzione si ha ponendo a=1; essa in genere viene denotata con

Proprietà elementari[modifica | modifica wikitesto]

Dalla definizione segue subito che D è simmetrica rispetto allo scambio dei primi due argomenti:

e che, per la disparità della (()),

D(−a,b;c) = −D(a,b;c),
D(a,b;−c) = D(a,b;c).

Chiaramente, la D è periodica in ciascuno dei suoi primi due argomenti, il terzo argomento essendo la lunghezza del periodo sia per a che per b:

D(a,b;c)=D(a+kc,b+lc;c), per tutti gli interi k,l.

Se d è un intero positivo, allora

D(ad,bd;cd) = dD(a,b;c),
D(ad,bd;c) = D(a,b;c), if (d,c) = 1,
D(ad,b;cd) = D(a,b;c), if (d,b) = 1.

L'ultima uguaglianza si può dimostrare servendosi della proprietà

Inoltre la az = 1 (mod c) implica D(a,b;c) = D(1,bz;c).

Caso particolare[modifica | modifica wikitesto]

Se b e c sono numeri coprimi, per la s(b,c) si ha l'espressione

dove la somma riguarda le c-esime radici dell'unità diverse da 1, ossia l'insieme dei valori tali che ma .

If b, c > 0 sono coprimi, allora

Legge di reciprocità[modifica | modifica wikitesto]

Se b e c sono interi positivi coprimi, allora

Riscritta questa equazione nella forma

segue che il numero 6c s(b,c) è un intero.

Se k = (3, c), allora

e

Segnaliamo una relazione di grande rilievo nella teoria delle funzione eta di Dedekind. Sia q = 3, 5, 7 or 13 e sia n = 24/(q − 1). In tal caso dati interi a, b, c, d con ad − bc = 1 (e quindi appartenente al gruppo modulare), con c scelto in modo che sia c = kq per qualche intero k > 0, definiamo

.

Ne segue che nδ è un intero pari.

Generalizzazione di Rademacher della legge di reciprocità[modifica | modifica wikitesto]

Hans Rademacher ha trovato la seguente generalizzazione delle legge di reciprocità per le somme di Dedekind.[1] Se a,b e c sono interi positivi mutuamente coprimi, allora

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hans Rademacher, Generalization of the Reciprocity Formula for Dedekind Sums, Duke Mathematical Journal 21 (1954), pp. 391-397

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica