Simboli 3j

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I simboli 3j, noti anche come simboli 3j di Wigner e come simboli 3-jm, sono funzioni aventi dominio contenuto nell'insieme delle sestuple di numeri seminteri ed a valori razionali, definibili come varianti dotate di maggiore simmetria dei coefficienti di Clebsch-Gordan:

Questi simboli sono stati introdotti da Eugene Wigner e riguardano i collegamenti tra rappresentazioni del gruppo delle rotazioni.

Regole di selezione[modifica | modifica wikitesto]

Il simbolo 3j è diverso da 0 se e solo se sono soddisfatte tutte le condizioni che seguono:

e sono interi
è intero
.

Relazione inversa[modifica | modifica wikitesto]

L'espressione dei coefficienti di Clebsch-Gordan nei simboli 3j si ottiene osservando che j1 - j2 - m3 è un numero intero ed effettuando la sostituzione

Proprietà di simmetria[modifica | modifica wikitesto]

Le relazioni di simmetria sono sensibilmente più semplici di quelle dei coefficienti di Clebsch-Gordan. Un simbolo 3j è invariante per ogni permutazione pari delle sue colonne:

Una permutazione dispari delle colonne comporta invece una moltiplicazione per un fattore di fase uguale a :

Anche il cambiamento di segno dei numeri quantici m comporta la moltiplicazione per un fattore :

Invariante scalare[modifica | modifica wikitesto]

La contrazione del prodotto di tre stati rotazionali con un simbolo 3j

è invariante per le rotazioni.

Relazioni di ortogonalità[modifica | modifica wikitesto]

Espressione di integrali di armoniche sferiche pesate con spin[modifica | modifica wikitesto]

Per utilizzare questa uguaglianza occorre verificare le convenzioni sui fattori di fase per le armoniche sferiche.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
  • D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
  • A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
  • Leonard C. Maximon (2008): 3j,6j,9j Symbols, Chapter 34 della NIST Digital Library of Mathematical Functions
  • D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum, World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988.
  • E. P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups, unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]