Rendimento isoentropico

Ciclo Brayton ideale (linee continue) e reale (linee tratteggiate), su diagramma T-s

Il rendimento isoentropico è un particolare rendimento usato per stabilire quanto una trasformazione adiabatica di compressione o di espansione si avvicini al caso ideale di trasformazione isoentropica, cioè reversibile, nella quale l'entropia non aumenta, ma rimane costante.

Aspetto teorico

La forma differenziale dell'energia interna è:

$dU=-P\operatorname {d} V+T\operatorname {d} S$

L'entalpia risulta essere

$H=U+PV$

conseguentemente la forma differenziale dell'entalpia risulta essere:

$dH=\operatorname {d} U+P\operatorname {d} V+V\operatorname {d} P$

$dH=-P\operatorname {d} V+T\operatorname {d} S+P\operatorname {d} V+V\operatorname {d} P$

$dH=T\operatorname {d} S+V\operatorname {d} P$

La forma differenziale dell'entalpia, su di un'isobara si riduce a:

$dH=T\operatorname {d} S$

Si consideri ora, in riferimento al ciclo di Brayton-Joule riportato in figura, il compressore. Il suo lavoro sarà:

• Caso isoentropico: $L_{compressore}=H_{1}-H_{2}$
• Caso non isoentropico: $L_{compressore}=H_{1}-H_{2'}$

Tale lavoro risulta essere, in entrambi i casi $<0$ poiché il compressore fornisce lavoro al fluido per innalzarne il contenuto entalpico. Riprendendo la forma differenziale dell'entalpia su un'isobara, come quella lungo il percorso $2,3$ su cui giace il punto $2$ del lavoro del compressore, è possibile notare che ad un aumento di $dS$, corrispondente ad un aumento dell'irreversibilità, aumenta $dH$ e di conseguenza $H_{2'}$. Questo comporta quindi che $L_{compressore}$ risulti ancora più negativo del caso isoentropico. Quindi ad un aumento dell'irreversibilità aumenta il lavoro che deve compiere il compressore sul fluido.

Considerando invece la turbina si ha che:

• Caso isoentropico: $L_{turbina}=H_{3}-H_{4}$
• Caso non isoentropico: $L_{turbina}=H_{3'}-H_{4'}$

Tale lavoro risulta essere, in entrambi i casi $>0$ poiché la turbina consuma il contenuto entalpico del fluido, per mettere in rotazione il suo albero. Con un ragionamento analogo a quello fatto in precedenza per il compressore, è possibile notare che nella turbina un aumento di irreversibilità comporta una diminuzione del lavoro che essa è in grado di produrre.

Tali considerazioni, eseguite sul ciclo Brayton, e con il lavoro considerato positivo se uscente dal sistema studiato, sono valide anche per altri cicli come un ciclo di Rankine o un ciclo di Rankine a vapore surriscaldato

Applicazione

Il rendimento è definito come $\eta ={\frac {L_{minimo}}{L_{massimo}}}$

Applicando tale definizione al caso della turbina e del compressore, è possibile ottenere i corrispettivi rendimenti isoentropici:

• Nel caso di espansione in turbina è definito dal rapporto fra il lavoro reale ottenuto e quello ideale ottenibile dall'isoentropica.

$\eta _{isoentropico\ turbina}={\frac {L_{reale}}{L_{ideale}}}\qquad L_{reale}<L_{ideale}$

• Nel caso di compressione nel compressore è il rapporto fra il lavoro ideale necessario (cioè minimo) e quello realmente necessario.

$\eta _{isoentropico\ compressore}={\frac {L_{ideale}}{L_{reale}}}\qquad L_{reale}>L_{ideale}$

Un compressore non isoentropico necessiterà di una maggiore potenza (o lavoro) dell'equivalente compressore isoentropico, visto che entrambi produrranno comunque la stessa variazione di pressione nel gas.

Inversamente vale per i processi di espansione. Una turbina non isoentropica produrrà una minore potenza (o lavoro) dell'equivalente turbina isoentropica, visto che entrambe funzionano con la stessa differenza di pressione.

Ciclo Brayton su diagramma h-s: dal punto 1 al 2, compressione isoentropica (tratteggiata) e reale (linea continua); dal punto 3 al 4, espansione isoentropica (tratteggiata) e reale (linea continua). Note: 1) Le trasformazioni isoentropiche sono sempre verticali sui diagrammi h-s e T-s; 2) la pressione dei punti 2s e 2 è la stessa, come è la stessa anche per i punti 4s e 4

Voci correlate

• Trasformazione isoentropica
• Entropia
• Rendimento (termodinamica)