Regolo di Golomb

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Regolo di Golomb di ordine 4 e lunghezza 6. Questo regolo è sia ottimale che perfetto.

In matematica, un regolo di Golomb, chiamato così da Solomon W. Golomb che fu il primo a descriverlo, è un insieme di tacche poste a posizioni intere su un immaginario regolo, tale che non ci sia alcuna coppia di tacche poste alla stessa distanza. Il numero di tacche nel regolo è il suo ordine, mentre la massima distanza tra due delle sue tacche è la sua lunghezza. Traslazione e riflessione di un regolo di Golomb sono considerate banali: per convenzione, quindi, la tacca più a sinistra è posta a 0 e quella successiva è il minore dei due valori possibili.

Non è affatto richiesto che un regolo di Golomb possa misurare tutte le distanze da 1 alla sua lunghezza: nel caso che lo faccia, viene detto un regolo perfetto. È stato dimostrato che non può esistere un regolo di Golomb perfetto per cinque o più tacche. Un regolo di Golomb si dice ottimale se non esiste nessun regolo di Golomb dello stesso ordine e più corto. È facile creare un regolo di Golomb, ma trovare quelli ottimali è un compito computazionalmente complicato. Distributed.net ha completato la ricerca parallela di massa per i regoli ottimali di ordine 24[1], 25[2], 26[3] e 27[3], confermando i candidati sospetti. Distributed.net sta inoltre cercando, da febbraio 2014, il regolo ottimale di ordine 28.[4]

Un uso pratico dei regoli di Golomb è la progettazione di antenne radio in array di fase, come ad esempio i radiotelescopi. Presso le stazioni base dei cellulari, si possono spesso vedere antenne in una configurazione equivalente al regolo di Golomb [0,1,4,6].

Al momento non è nota la complessità di trovare regoli di Golomb ottimali di lunghezza arbitraria n, ma si pensa che sia un problema NP-difficile.[5]

Regoli di Golomb ottimali noti[modifica | modifica wikitesto]

La tabella seguente mostra tutti i regoli di Golomb ottimali noti, escludendo quelli equivalenti a meno di riflessione. La tabella è completa fino all'ordine 27 compreso.

ordine lunghezza tacche data scoperta scopritore
1 0 0
2 1 0 1
3 3 0 1 3
4 6 0 1 4 6
5 11 0 1 4 9 11
0 2 7 8 11
1967?[6] John P. Robinson e Arthur J. Bernstein
6 17 0 1 4 10 12 17
0 1 4 10 15 17
0 1 8 11 13 17
0 1 8 12 14 17
1967?[6] John P. Robinson e Arthur J. Bernstein
7 25 0 1 4 10 18 23 25
0 1 7 11 20 23 25
0 1 11 16 19 23 25
0 2 3 10 16 21 25
0 2 7 13 21 22 25
1967?[6] John P. Robinson e Arthur J. Bernstein
8 34 0 1 4 9 15 22 32 34 1972[6] William Mixon
9 44 0 1 5 12 25 27 35 41 44 1972[6] William Mixon
10 55 0 1 6 10 23 26 34 41 53 55 1972[6] William Mixon
11 72 0 1 4 13 28 33 47 54 64 70 72
0 1 9 19 24 31 52 56 58 69 72
1972[6] William Mixon
12 85 0 2 6 24 29 40 43 55 68 75 76 85 1979[6] John P. Robinson
13 106 0 2 5 25 37 43 59 70 85 89 98 99 106 1981[6] John P. Robinson
14 127 0 4 6 20 35 52 59 77 78 86 89 99 122 127 1985[6] James B. Shearer
15 151 0 4 20 30 57 59 62 76 100 111 123 136 144 145 151 1985[6] James B. Shearer
16 177 0 1 4 11 26 32 56 68 76 115 117 134 150 163 168 177 1986[6] James B. Shearer
17 199 0 5 7 17 52 56 67 80 81 100 122 138 159 165 168 191 199 1993[6] W. Olin Sibert
18 216 0 2 10 22 53 56 82 83 89 98 130 148 153 167 188 192 205 216 1993[6] W. Olin Sibert
19 246 0 1 6 25 32 72 100 108 120 130 153 169 187 190 204 231 233 242 246 1994[6] Apostolos Dollas, William T. Rankin and David McCracken
20 283 0 1 8 11 68 77 94 116 121 156 158 179 194 208 212 228 240 253 259 283 1997?[6] Mark Garry, David Vanderschel and others (web project)
21 333 0 2 24 56 77 82 83 95 129 144 179 186 195 255 265 285 293 296 310 329 333 8 maggio 1998[7] Mark Garry, David Vanderschel and others (web project)
22 356 0 1 9 14 43 70 106 122 124 128 159 179 204 223 253 263 270 291 330 341 353 356 ~maggio 1999[8] Mark Garry, David Vanderschel and others (web project)
23 372 0 3 7 17 61 66 91 99 114 159 171 199 200 226 235 246 277 316 329 348 350 366 372 8 luglio 1999[9] Mark Garry, David Vanderschel and others (web project)
24 425 0 9 33 37 38 97 122 129 140 142 152 191 205 208 252 278 286 326 332 353 368 384 403 425 13 ottobre 2004[10] distributed.net
25 480 0 12 29 39 72 91 146 157 160 161 166 191 207 214 258 290 316 354 372 394 396 431 459 467 480 25 ottobre 2008[11] distributed.net
26 492 0 1 33 83 104 110 124 163 185 200 203 249 251 258 314 318 343 356 386 430 440 456 464 475 487 492 24 febbraio 2009[12] distributed.net
27 553 0 3 15 41 66 95 97 106 142 152 220 221 225 242 295 330 338 354 382 388 402 415 486 504 523 546 553 19 febbraio 2014[3][13] distributed.net

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) OGR-24 Overall project stats, distributed.net. URL consultato il 1º marzo 2014.
  2. ^ (EN) OGR-25 Overall project stats, distributed.net. URL consultato il 1º marzo 2014.
  3. ^ a b c (EN) OGR-26 Overall project stats, distributed.net. URL consultato il 1º marzo 2014.
  4. ^ (EN) Mike Reed, Getting ready for OGR-28!, su distributed.net, 18 febbraio 2014. URL consultato il 1º marzo 2014.
  5. ^ Modular and Regular Golomb Rulers
  6. ^ a b c d e f g h i j k l m n o p (EN) James B. Shearer, Golomb ruler table, IBM. URL consultato il 26 febbraio 2014.
  7. ^ (EN) In Search Of The Optimal 20 & 21 Mark Golomb Rulers, su members.aol.com. URL consultato il 26 febbraio 2014 (archiviato dall'url originale il 6 dicembre 1998).
  8. ^ (EN) Help Find The Optimal 22 Mark Golomb Ruler!, su ogr.virtualave.net, 6 maggio 1999. URL consultato il 26 febbraio 2014 (archiviato dall'url originale il 24 maggio 2000).
  9. ^ (EN) Help Find The Optimal 23 Mark Golomb Ruler!, su ogr.virtualave.net, 9 luglio 1999. URL consultato il 26 febbraio 2014 (archiviato dall'url originale il 7 agosto 2001).
  10. ^ (EN) OGR-25 completion announcement, distributed.net. URL consultato il 26 febbraio 2014.
  11. ^ (EN) OGR-24 completion announcement, distributed.net. URL consultato il 26 febbraio 2014.
  12. ^ (EN) OGR-26 completion announcement, distributed.net. URL consultato il 26 febbraio 2014.
  13. ^ (EN) Mike Reed, The OGR-27 project has been completed., distributed.net. URL consultato il 26 febbraio 2014.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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