In analisi complessa, il principio dell'argomento mette in relazione i poli e gli zeri di una funzione meromorfa con un integrale di linea.
Sia
, e sia
una catena omologa a zero in
. Sia
una funzione meromorfa su
, con un numero finito di zeri e poli,
, non appartenenti al supporto della curva
. Allora
![{\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz=2\pi i\sum _{i=1}^{n}{\text{Ind}}_{\gamma }(z_{i}){\text{ord}}_{z_{i}}(f),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba1b0f74ed2b938ada63d2f01828530ebeaa723)
dove
![{\displaystyle {\text{ord}}_{z_{i}}(f)=m_{i}\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83af94ff21117eb8a740438804e0544f2c381bb2)
è l'ordine della funzione
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
in
![{\displaystyle z_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6e920bac39ad09fff4efef16254595091a1025)
, definito come l'indice del primo coefficiente non nullo della
serie di Laurent della funzione
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
centrata in
![{\displaystyle z_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6e920bac39ad09fff4efef16254595091a1025)
, per ogni
![{\displaystyle i=1,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f269b2f3b2f87fec0168426652a5ea80b56112)
.
Sia
. Allora la funzione
è olomorfa in
. Se si proverà che
, dal teorema dei residui, seguirà subito la tesi.
Consideriamo la serie di Laurent della funzione
centrata in
, la quale, per semplicità, la scriviamo come
, dove
denota l'ordine della funzione
nel punto
, ed
è una funzione olomorfa in
tale che
, per ogni
. Quindi vale che
![{\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}={\frac {m_{i}(z-z_{i})^{m_{i}-1}h(z)+(z-z_{i})^{m_{i}}h'(z)}{(z-z_{i})^{m_{i}}h(z)}}={\frac {m_{i}}{z-z_{i}}}+{\frac {h'(z)}{h(z)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723bc45d2652647b05e620ebb74c8111bedacfb0)
dove la funzione
![{\displaystyle {\frac {h'}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d82a758f63e7f37d2e75c7dfa85ac84f4aecad)
è olomorfa in
![{\displaystyle z_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c6e920bac39ad09fff4efef16254595091a1025)
, per ogni
![{\displaystyle i=1,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f269b2f3b2f87fec0168426652a5ea80b56112)
. Di conseguenza,
![{\displaystyle {\text{Res}}_{z_{i}}\left({\frac {f'}{f}}\right)=m_{i}={\text{ord}}_{z_{i}}(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af6c6008638613cc0b27ac1abc36984bcdc26ca6)
, per ogni
![{\displaystyle i=1,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f269b2f3b2f87fec0168426652a5ea80b56112)
.
Sia
, e sia
una funzione meromorfa su
. Sia
una curva chiusa semplice in
tale che l'interno di
sia contenuto in
, ed il supporto di
non contenga zeri o poli della funzione
. Allora
![{\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz=2\pi i(N_{0}-N_{\infty }),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6cd0e1e4783b47288aaa6ce558785c540a696d)
dove
![{\displaystyle N_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6328fbe0cded37216c90735c89ee188be26a30)
ed
![{\displaystyle N_{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2e90d621a19c9d91760c1070a2a344bd418b78)
indicano rispettivamente il numero di zeri e poli (contati con i loro ordini) interni alla curva
![{\displaystyle \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
.