Geometria euclidea

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La geometria euclidea è la geometria che si basa sui cinque postulati di Euclide e in particolar modo sul postulato delle parallele.

Le geometrie che si basano su postulati diversi da quelli elencati da Euclide sono invece dette geometrie non euclidee.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

I 5 postulati di Euclide sono:

  1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta;
  2. Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;
  3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;
  4. Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;
  5. Se una retta che taglia altre due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.
Il quinto postulato di Euclide

Si nota subito una differenza tra i primi quattro, immediatamente evidenti e praticamente verificabili col semplice uso di matita, righello e compasso, ed il quinto, che non è caratterizzato dall'immediatezza pratica dei primi, mentre presenta una formulazione molto più involuta. Lo stesso Euclide sembra essere a disagio in proposito, tanto che dimostra le prime 28 proposizioni del primo libro degli Elementi senza fare uso del quinto postulato.

Il quinto postulato è equivalente all'assioma seguente, oggi più usato:

Per un punto passa una ed una sola parallela ad una retta data.

Sulla violazione di questi postulati, e soprattutto sul quinto, si fondano le geometrie non euclidee come ad esempio la geometria iperbolica.

Prime conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

Dagli assiomi si possono dedurre delle relazioni di incidenza fra punti, rette e piani. Ad esempio:

  • Per un punto passano infinite rette
  • Per due punti distinti passa una ed una sola retta
  • Per una retta nello spazio passano infiniti piani
  • Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano
  • Per tre punti allineati passa una e una sola retta

Si definiscono quindi altre nozioni, quali ad esempio:

  • Due rette nello spazio si dicono complanari quando giacciono sullo stesso piano.
  • Se un punto divide la retta a metà, ciascuna delle due parti si dice semiretta: questa sarà dotata di un'origine, ma non di una fine.
  • La parte di retta delimitata da due punti è detta segmento.

Versione assiomatizzata e corretta[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1899, David Hilbert (nato a Konigsberg nel 23 gennaio del 1862 e morto a Gottinga nel 14 febbraio del 1943) propone un sistema assiomatico corretto per la geometria. Perché se ne sentiva la necessità? Anzitutto, si cercava di dimostrare per assurdo la correttezza del quinto postulato, e poi perché nella versione originale sono impliciti alcuni altri assunti: ad esempio, nel primo assioma, è implicito che la retta esista e sia una sola, e che esistano due punti distinti; nel secondo, che una retta possegga più di un punto; nel terzo, che nel piano ci siano almeno tre punti non allineati, che si possa riportare un segmento di retta per traslazione senza deformarlo, e via di questo passo.

Venne così pubblicato Grundlagen der Geometrie, in cui veniva fornito un sistema assiomatico completo, fondato su 21 assiomi, per la geometria euclidea. Fatto questo, subito venne dimostrato da Henri Poincaré che la geometria iperbolica, indagata da Giovanni Girolamo Saccheri, fondata correttamente da Nikolaj Ivanovič Lobačevskij e confermata con un modello da Eugenio Beltrami, poteva essere messa in corrispondenza con la geometria euclidea, in modo tale che un'eventuale autocontraddizione dell'una avrebbe causato la rovina anche dell'altra.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


La geometria euclidea deriva da Euclide filosofo,scienziato,matematico greco che ordino e perfeziono elementi gia creati. Egli viene citato in molti testi:

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

A

   Alcuni opuscoli filosofici/Lettera a Monsignore Giovanni Ciampoli (1)

C

   Commedia (Buti)/Inferno/Canto IV
   Cronica de Matematici/Cronica

D

   Dalle dita al calcolatore/IV/12
   De' matematici italiani anteriori all'invenzione della stampa/Appendice/2
   De' matematici italiani anteriori all'invenzione della stampa/Commentario storico
   Del Vaglio di Eratostene e della illustrazione fattane da Samuele Horsley negli atti della R. Società di Londra
   Dieci lettere di Publio Virgilio Marone/Dieci lettere/Lettera seconda
   Discorso intorno ad Archimede
   Discorso sopra la calamita/Discorso sopra la calamita
   Divina Commedia/Inferno/Canto IV

G

   Galileo Galilei (Favaro)/I
   Galileo Galilei (Favaro)/III

I

   Il Sofista e l'Uomo politico/I
   Intorno ad alcuni avanzamenti della fisica in Italia nei secoli XVI e XVII
   Inventione de Nicolò Tartaglia/Epistola
   Inventione de Nicolò Tartaglia/Libro primo/Propositione II
   Inventione de Nicolò Tartaglia/Libro secondo/Propositione II
   Inventione de Nicolò Tartaglia/Libro secondo/Propositione III
   Inventione de Nicolò Tartaglia/Libro secondo/Propositione prima
   Inventione de Nicolò Tartaglia/Libro secondo/Suppositione prima
   Invito a Lesbia Cidonia ed altre poesie/Lorenzo Mascheroni
   Ipazia

L

   L'Euclide deve essere bandito dalle scuole classiche/Articolo I
   L'Euclide deve essere bandito dalle scuole classiche/Articolo II
   L'Euclide deve essere bandito dalle scuole classiche/Articolo III
   L'Euclide deve essere bandito dalle scuole classiche/Dedica
   L'Euclide deve essere bandito dalle scuole classiche/Introduzione
   La Cicceide legittima/I/CCXLIV
   La Città del Sole (1863)
   La Geometria del Compasso (1797)/I
   La Geometria del Compasso (1797)/II
   La Geometria del Compasso (1797)/Prefazione
   La scienza nuova - Volume I/Introduzione dell'editore/I
   Le sfere omocentriche/I. Considerazioni generali

M

   Manuale di economia politica con una introduzione alla scienza sociale/Capitolo I
   Matematica allegra/2i
   Matematica allegra/2j
   Matematica allegra/5
   Metodo per rendere la Geometria indipendente dal principio della sovrapposizione

O

   Opere di Raimondo Montecuccoli (1821)/Elogio del MONTECUCCOLI scritto dal conte Agostino Paradisi

P

   Poesie italiane con alcune prose latine/Elogio

Q

   Quesiti et inventioni diverse/Libro primo/Quesito secondo
   Quesiti et inventioni diverse/Libro primo/Quesito settimo

R

   Racconto istorico della vita di Galileo
   Ricerche sopra l'aritmetica degli antichi
   Rime (Berni)/XLVI. Sonetto a Messer Francesco Sansovino
   Rivista di Scienza - Vol. I/Il valore didattico della Matematica e della Fisica
   Rivista di Scienza - Vol. I/La Science et l'Hypothèse e La Valeur de la Science
   Rivista di Scienza - Vol. I/Problemi della scienza
   Rivista di Scienza - Vol. II/La previsione dei fatti sociali
   Rivista di Scienza - Vol. II/La réforme de l'enseignement des mathématiques élémentaires

S

   Scientia - Vol. VII/Science et méthode
   Scritti della astronomia antica/X. Le sfere omocentriche di Eudosso di Callippo e di Aristotele/I. - Considerazioni generali.
   Scritti della astronomia antica/X. Le sfere omocentriche di Eudosso di Callippo e di Aristotele/II. - Origine delle sfere omocentriche
   Scritti vari (Ardigò)/Articoli/La scuola classica e la filosofia
   Sextarius Pergami saggio di ricerche metrologiche/Introduzione
   Sextarius Pergami saggio di ricerche metrologiche/Note
   Storia delle arti del disegno presso gli antichi (vol. II)/Libro decimo - Capo II
   Sulla prospettiva degli antichi

T

   Trattato delle cose che stanno sul liquido/Libro primo/Proposizione I
   Trattato delle cose che stanno sul liquido/Libro primo/Proposizione VII
   Trattato delle cose che stanno sul liquido/Libro secondo/Proposizione I
   Trattato delle cose che stanno sul liquido/Libro secondo/Proposizione IV
   Trattato delle cose che stanno sul liquido/Libro secondo/Proposizione V
   Trattato delle cose che stanno sul liquido/Libro secondo/Proposizione VIII

V

   Vita di Dante/Libro I/Capitolo V
   Vita di Giambattista Vico scritta da se medesimo

Ma scrisse anche un libro in cui parladegli elementi si trova un po' più semplice leggere la traduzione (di Niccolò Tartaglia).

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