Modello di compensazione

In fisica matematica, e soprattutto in biologia matematica, un sistema dinamico definito dall'equazione differenziale

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=xr(x)$

dove $r(x)$ è il tasso di crescita pro-capite, si dice modello di compensazione se sono verificate le seguenti proprietà:

• $\left.{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right|_{x=0}=0$
• in un intorno di $0$ il tasso di crescita ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$ cresce
• da un certo punto in poi il tasso di crescita diminuisce.

Grafco del tasso di crescita in un modello con compensazione

Formalmente, tali condizioni si traducono in:

• $r(x)\geq 0\qquad \forall \quad 0\leq x\leq K$
• $r'(x)\geq 0\qquad \forall \quad 0\leq x\leq K^{*}\qquad$ dove $K^{*}<K$
• $r'(x)\leq 0\qquad \forall \quad K^{*}\leq x\leq K$
• $r''(x)\leq 0\qquad \forall \quad 0\leq x\leq K$

Significato biologico

Nel caso di sistemi biologici, ossia se $x$ rappresenta una popolazione, il modello di compensazione è caratterizzato da un alto aumento di tasso di crescita pro-capite per popolazione bassa, fino a un assestamento superato un certo valore di individui.

Un esempio è quello di popolazioni che, in assenza di competizione (ovvero quando vi sono solo pochi individui), si riproducono con tassi simili al modello di Malthus, e in seguito diminuiscono la velocità di riproduzione fino a raggiungere un tasso nullo quando la popolazione raggiunge un punto d'equilibrio stabile (ad esempio quello pari alla carrying capacity nell'equazione logistica).

Voci correlate

• Modello di depensazione
• Equazione logistica
• Legge di Gompertz