Misura vettoriale

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, una misura vettoriale è una generalizzazione del concetto di misura.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data un'algebra di insiemi ed uno spazio di Banach , una misura vettoriale finitamente additiva (talvolta detta semplicemente misura) è una funzione tale che per ogni coppia di insiemi disgiunti e in si verifica:

Una misura vettoriale è detta numerabilmente additiva se per ogni successione di insiemi disgiunti in tale che la loro unione sia in si ha:

dove la serie al membro di destra converge nella norma di .

Si può mostrare che una misura vettoriale additiva è numerabilmente additiva se e solo se per ogni successione definita come sopra si verifica:

dove è la norma su .

Le misure vettoriali numerabilmente additive definite su sigma-algebre sono più generali delle nozioni di misura, misura con segno e misura complessa, che sono funzioni numerabilmente additive che mappano rispettivamente sulla retta reale estesa , e .

Variazione di una misura vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Da una misura vettoriale , la variazione di è definita come:

dove l'estremo superiore è preso considerando tutte le partizioni:

di in un numero finito di insiemi disgiunti, per ogni in , e la norma è la norma su

La variazione di è una funzione finitamente additiva che mappa su . Si ha inoltre:

per ogni in . Se è finita, la misura è detta essere a variazione limitata. Si può mostrare che se è una misura vettoriale a variazione limitata allora è numerabilmente additiva se e solo se è numerabilmente additiva.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Donald L. Cohn, Measure theory, reprint, Boston–Basel–Stuttgart, Birkhäuser Verlag, 1997 [1980], pp. IX+373, ISBN 3-7643-3003-1., Zbl 0436.28001.
  • (EN) Joe Diestel e Jerry J., Jr. Uhl, Vector measures, Mathematical Surveys, vol. 15, Providence, R.I, American Mathematical Society, 1977, pp. xiii+322, ISBN 0-8218-1515-6.
  • (EN) Kluvánek, I., Knowles, G., Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica