Misura vettoriale

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In matematica, una misura vettoriale è una generalizzazione del concetto di misura.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data un'algebra di insiemi (\Omega, \mathcal F) ed uno spazio di Banach X, una misura vettoriale finitamente additiva (talvolta detta semplicemente misura) è una funzione \mu:\mathcal {F} \to X tale che per ogni coppia di insiemi disgiunti A e B in \mathcal{F} si verifica:

\mu(A\cup B) =\mu(A) + \mu (B)

Una misura vettoriale \mu è detta numerabilmente additiva se per ogni successione (A_i)_{i=1}^{\infty} di insiemi disgiunti in \mathcal F tale che la loro unione sia in \mathcal F si ha:

\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) =\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)

dove la serie al membro di destra converge nella norma di X.

Si può mostrare che una misura vettoriale additiva \mu è numerabilmente additiva se e solo se per ogni successione (A_i)_{i=1}^{\infty} definita come sopra si verifica:

\lim_{n\to\infty}\left\|\mu\left(\displaystyle\bigcup_{i=n}^\infty A_i\right)\right\|=0

dove \|\cdot\| è la norma su X.

Le misure vettoriali numerabilmente additive definite su sigma-algebre sono più generali delle nozioni di misura, misura con segno e misura complessa, che sono funzioni numerabilmente additive che mappano rispettivamente sulla retta reale estesa [0, \infty], \R e \C.

Variazione di una misura vettoriale[modifica | modifica wikitesto]

Da una misura vettoriale \mu:\mathcal{F}\to X, la variazione |\mu| di \mu è definita come:

|\mu|(A)=\sup \sum_{i=1}^n \|\mu(A_i)\|

dove l'estremo superiore è preso considerando tutte le partizioni:

A=\bigcup_{i=1}^n A_i

di A in un numero finito di insiemi disgiunti, per ogni A in \mathcal{F}, e la norma \|\cdot\| è la norma su X.

La variazione di \mu è una funzione finitamente additiva che mappa su [0, \infty]. Si ha inoltre:

||\mu(A)||\le |\mu|(A)

per ogni A in \mathcal{F}. Se |\mu|(\Omega) è finita, la misura \mu è detta essere a variazione limitata. Si può mostrare che se \mu è una misura vettoriale a variazione limitata allora \mu è numerabilmente additiva se e solo se |\mu| è numerabilmente additiva.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Donald L. Cohn, Measure theory, reprint, Boston–Basel–Stuttgart, Birkhäuser Verlag [1980], 1997, pp. IX+373, ISBN 3-7643-3003-1., Zbl 0436.28001.
  • (EN) Joe Diestel e Jerry J., Jr. Uhl, Vector measures, Mathematical Surveys, vol. 15, Providence, R.I, American Mathematical Society, 1977, pp. xiii+322, ISBN 0-8218-1515-6.
  • (EN) Kluvánek, I., Knowles, G., Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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