Misura regolare

In matematica, una misura regolare su uno spazio topologico è una misura tale per cui ogni insieme misurabile può essere approssimato con un insieme misurabile aperto e con un insieme misurabile compatto.

Definizione

Sia $(X,T)$ uno spazio topologico e $\Sigma$ una sigma-algebra su $X$. Detta $\mu$ una misura su $(X,\Sigma )$, un insieme misurabile $A\subset X$ è internamente regolare se:

$\mu (A)=\sup\{\mu (F)|F\subseteq A\}$

con $F$ compatto e misurabile, ed è esternamente regolare se:

$\mu (A)=\inf\{\mu (G)|G\supseteq A\}$

con $G$ aperto e misurabile.

• Una misura è detta misura internamente regolare se ogni insieme misurabile è internamente regolare. Alcuni autori definiscono una misura internamente regolare se ogni insieme aperto misurabile è internamente regolare.
• Una misura è detta misura esternamente regolare se ogni insieme misurabile è esternamente regolare.

Una misura è una misura regolare se è esternamente regolare e internamente regolare.

Esempi

• La misura di Lebesgue sulla retta reale è regolare.
• Ogni misura di probabilità di Borel su qualsiasi spazio di Hausdorff localmente compatto con una base di insiemi numerabile per la sua topologia, o su uno spazio metrico compatto, o su uno spazio di Radon, è regolare.

Bibliografia

• (EN) Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-19745-9.
• (EN) K. R. Parthasarathy, Probability measures on metric spaces, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2005, p. xii+276, ISBN 0-8218-3889-X. MR 2169627
• (EN) R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, Chapman & Hall, 1989.

Voci correlate

• Insieme aperto
• Misura (matematica)
• Misura di Radon
• Spazio compatto