Magnetostatica

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Linee di un campo magnetico statico in un dipolo

La magnetostatica è il campo dell'elettromagnetismo che studia i campi magnetici statici ovvero invarianti nel tempo. Corrispondentemente mentre nell'elettrostatica sono le cariche elettriche, generatrici del campo elettrostatico, ad essere approssimativamente stazionarie, nella magnetostatica sono le correnti elettriche, generatrici dei campi magnetici statici, ad essere approssimativamente stazionarie ovvero costanti o invarianti nel tempo; una differenza fondamentale a livello metodologico consiste però nel fatto che la magnetostatica si serve di approssimazioni mai assolutamente valide, come evidenziato in seguito.

Inesattezza[modifica | modifica sorgente]

La magnetostatica si occupa dello studio dei sistemi in cui solo il campo magnetico genera una forza sul sistema, detta forza di Lorentz: \mathbf F = \mathbf v \times \mathbf B perciò risulterebbe valida esattamente solo nel caso in cui: \mathbf E = \mathbf 0 ma per definizione questo significa una resistività elettrica ovunque nulla a meno di non ricadere nel caso banale di cariche statiche e quindi di assenza sia di forza che di campo magnetici:

\mathbf{E} = \rho \mathbf J \neq \mathbf 0,

restringendo il campo di esattezza della teoria all'inesistenza sperimentale e cioè alla pura teoria: anche i superconduttori hanno infatti una seppur minima resistività.

Applicabilità[modifica | modifica sorgente]

La teoria approssima bene il comportamento di un sistema per cui possano valere le assunzioni minime:

\frac {\partial \mathbf H}{\partial t} \sim 0
\frac {\partial \mathbf D}{\partial t} \ll \mathbf J

cioè nel caso in cui si possano approssimare stazionari il campo magnetico e il campo elettrico, quest'ultimo almeno rispetto alla densità di corrente. Si ottengono in particolare per il campo magnetico delle forme particolari delle equazioni di Maxwell

Nome Forma differenziale Forma integrale
Teorema di Gauss per il campo magnetico: \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_S \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = 0
legge di Ampère: \nabla \times \mathbf{H} \sim \mathbf{J} \oint_{\partial S} \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} \sim \int_{S} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}

Si noti che il sotto le stesse assunzioni campo elettrico non influenza minimamente il campo magnetico (lo stesso discorso vale anche al contrario); il primo risulta inoltre essere conservativo in base alla legge di Faraday: in effetti le assunzioni fatte ricadono all'interno di quelle richieste dall'elettrostatica. Perciò (sempre sotto assunzioni stazionarie) i due campi possono essere considerati indipendenti.

Sviluppo[modifica | modifica sorgente]

Innanzitutto le equazioni vengono riscritte nel potenziale magnetico, mentre si trascura l'andamento del potenziale elettrico. Ne risulta un'equazione di Poisson di campo di tipo vettoriale. Se il campo di densità di corrente elettrica di un sistema è nota, risulta utile riesprimere la legge di Ampère nella legge di Biot-Savart:

\vec{B}= \frac{\mu_{0}}{4\pi}I \int{\frac{\mathrm{d}\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}}

Questa legge è una buona approssimazione nel caso in cui il mezzo sia un materiale la cui permeabilità magnetica sia invariabile con l'induzione come il vuoto o l'aria o in generale un diamagnetico. Un vantaggio di questa tecnica è che in caso di una bobina con una geometria complessa, l'integrale può essere diviso in varie sezioni; per geometrie ancor più complicate può essere usata l'integrazione numerica. Poiché quest'equazione è utilizzata principalmente per risolvere problemi lineari, il risultato sarà la somma degli integrali di ogni sezione.

Un difetto nell'uso della legge di Biot-Savart è che non applica implicitamente il teorema di Gauss, perciò è possibile arrivare ad un risultato che include monopoli magnetici. Questo si verifica se alcune sezioni del percorso scelto non siano state incluse nell'integrale (il che implica che gli elettroni siano continuamente creati in un luogo e distrutti in un altro).

L'utilizzo della legge di Biot-Savart in presenza di materiali ferromagnetici o paramagnetici è complicato, in quanto la corrente esterna induce una corrente di superficie nel materiale magnetico che deve essere a sua volta inclusa nell'integrale. Il valore di questa corrente dipende dal campo magnetico che è ciò che si sta cercando di calcolare in primo luogo. A causa di questi problemi, una scelta migliore è quella di usare la legge di Ampère (solitamente in forma integrale). Per problemi in cui il materiale magnetico dominante è dato da un nucleo magnetico altamente permeabile, con vuoti d'aria relativamente piccoli, è più utile utilizzare i circuiti magnetici. Quando i vuoti d'aria sono confrontabili con la grandezza del circuito magnetico, gli effetti di bordo diventano significativi e bisogna usare il metodo degli elementi finiti. Questo metodo usa una forma modificata delle equazioni magnetostatiche in modo da calcolare il potenziale magnetico, dal quale è possibile ricavare il valore del campo magnetico.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro; Cesare Voci, Fisica Volume II, 2ª ed., EdiSES, pp. 240-250, ISBN 88-7959-152-5.
  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica 2. Elettromagnetismo-ottica, 3ª ed., Liguori, ISBN 978-88-207-1633-2.
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