Lemma di Itō

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In matematica, il lemma di Itō è usato nel calcolo stocastico al fine di computare il differenziale di una funzione di un particolare tipo di processo stocastico. Trova ampio impiego nella matematica finanziaria.

Il lemma è un'estensione dello sviluppo in serie di Taylor che si usa per funzioni deterministiche, ossia senza termine casuale, ed è applicabile per una funzione stocastica, ossia con un termine in dW. Tale termine non è un differenziale esatto e rappresenta la componente casuale di una variabile aleatoria. dW è l'abbreviazione che indica un processo di Wiener, usato per rappresentare il moto delle particelle nella teoria cinetica dei gas. In frazioni piccole a piacere della variabile temporale, una grandezza di questo tipo manifesta comunque un'elevata variabilità.

Dal lemma di Itō si ricava l'integrale di Itō, che estende e generalizza l'integrale di Riemann per funzioni stocastiche. Diversamente dall'integrale di Riemann, non ha un significato geometrico, non è un'area.

Enunciato del lemma[modifica | modifica wikitesto]

Sia un processo di Itō (o processo di Wiener generalizzato); in altre parole, soddisfa l'equazione differenziale stocastica:

Sia inoltre una funzione , avente derivata seconda continua. Allora:

  • è ancora un processo di Itō;
  • Si ha:

Giustificazione informale del risultato[modifica | modifica wikitesto]

Tramite un'espansione in serie di Taylor di si ottiene:

Sostituendo dalla SDE sopra si ha:

Lo sviluppo in serie di Taylor viene di solito troncato al primo ordine; già questo consente una buona approssimazione della funzione di partenza. In questo caso, bisogna considerare che i termini in vanno come quelli in ; avendo lo stesso ordine di grandezza troncando al primo ordine, devono essere considerati anche i termini in . Passando al limite per tendente a 0, i termini scompaiono. Infatti, nei limiti infinitesimi (a zero) prevale la potenza con esponente più basso, che arriva a zero più lentamente degli altri termini. Per contro tende a ; quest'ultima proprietà può essere dimostrata provando che:

se

Sostituendo questi risultati nell'espressione per si ottiene:

come richiesto. Una dimostrazione formale di questo risultato richiede la definizione di un integrale stocastico.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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