Integrale di linea di prima specie

Integrale di linea di una funzione di due variabili.

In analisi matematica e calcolo integrale, un integrale di linea di prima specie è un integrale di una funzione reale o complessa di una o più variabili reali, cioè di un campo scalare, lungo una curva.

Per le funzioni reali di una variabile (reale o complessa), la definizione e il calcolo coincidono con quella di integrale definito e integrale complesso. Nel seguito si espone il caso di integrazione curvilinea di funzioni reali di due o tre variabili, con immediate estensioni ad un numero qualsiasi di variabili.

L'analogo integrale di funzioni vettoriali è l'integrale di linea di seconda specie.

La curva regolare

Una curva, in forma parametrica, è una funzione vettoriale di una sola variabile $\phi (t):I=[a,b]\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3}$ del tipo:

$\phi (t)=(\phi _{1}(t),\phi _{2}(t),\phi _{3}(t))$

Si può scrivere anche:

$\phi (t):{\begin{cases}x=\phi _{1}(t)\\y=\phi _{2}(t)\\z=\phi _{3}(t)\end{cases}}$

La variabile $t\in I$ si chiama parametro. Una curva è una funzione di classe $C^{1}$ in un intervallo se le funzioni $\phi _{1}(t)\$, $\phi _{2}(t)\$ e $\phi _{3}(t)\$ hanno derivate continue in tale intervallo. Una curva $C^{1}\$ si dice regolare in un punto $t_{0}\$ se:

$\phi '(t_{0})=(\phi '_{1}(t_{0}),\phi '_{2}(t_{0}),\phi '_{3}(t_{0}))\neq (0,0,0)$

e regolare in $I\$ se ciò vale in ogni punto di $I\$. Un punto in cui si abbia $\phi '(t_{0})=(0,0,0)$ si dice punto singolare per la curva.

Una curva nello spazio si dice semplice se non si interseca con se stessa, ovvero se per ogni $t_{1}\neq t_{2}\in I$ si ha $\phi (t_{1})\neq \phi (t_{2})$. La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva, che è la retta parallela al vettore:

$\phi '(t_{0})=(\phi '_{1}(t_{0}),\phi '_{2}(t_{0}),\phi '_{3}(t_{0}))$

Tale vettore è detto vettore tangente di lunghezza $\lVert \phi '(t_{0})\rVert$, ed è indicato pure con ${\vec {T}}(t_{0})$. Il versore tangente è inoltre il vettore di lunghezza unitaria:

${\hat {T}}(t_{0})={\frac {\phi '(t_{0})}{\lVert \phi '(t_{0})\rVert }}$

Data la rappresentazione parametrica della curva regolare, è possibile anche calcolarne la lunghezza:

${\mbox{lungh}}(\phi )=\int _{a}^{b}\lVert \phi '(t)\rVert \;\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\sqrt {\phi '_{1}(t)^{2}+\phi '_{2}(t)^{2}+\phi '_{3}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t$

Il calcolo dell'integrale

Se si ha una funzione $f:A\subseteq \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ di tre variabili e una curva $\Gamma \$ definita in $A$ con rappresentazione parametrica $\phi :[a,b]\to \mathbb {R} ^{3}$:

$\phi (t)={\begin{cases}x=\phi _{1}(t)\\y=\phi _{2}(t)\\z=\phi _{3}(t)\end{cases}}$

con $t\in [a,b]\subseteq \mathbb {R}$, si definisce nel modo seguente l'integrale della funzione lungo la curva. Si consideri una partizione qualsiasi $a=t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}=b$, a cui si associano i punti $P_{0}=\phi (t_{0}),P_{1}=\phi (t_{1}),\dots ,P_{n}=\phi (t_{n})$. Tali punti dividono la curva in tanti archi $\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{n}$. In corrispondenza di ognuno di tali archi si sceglie un generico punto appartenente all'arco i-esimo $Q_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ e si costruiscono le somme integrali:

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i},z_{i}){\mbox{lungh}}(\gamma _{i})$

dove la ${\mbox{lungh}}(\gamma _{i})\$ è la lunghezza definita precedentemente. Se esiste il limite per $\max _{i}(t_{i}-t_{i-1})\to 0$ delle somme integrali, cioè per ogni intervallo $(t_{i}-t_{i-1})$ che diventa infinitesimo (ovvero, equivalentemente, per $n\to \infty$), allora il valore di tale limite si chiama integrale curvilineo di prima specie della funzione $f(x,y,z)$ lungo la curva $\Gamma$ e lo si indica solitamente con:

$\int _{\Gamma }f(x,y,z)\,\mathrm {d} s$

Se la curva è regolare allora $\mathrm {d} s\$ è l'elemento infinitesimo di lunghezza come nella definizione di lunghezza della curva, e si può esplicitare l'integrale:

$\int _{\Gamma }f(x,y,z)\,\mathrm {d} s=\int _{a}^{b}f(\phi (t))\lVert \phi '(t)\rVert \,\mathrm {d} t$

dove $f(\phi (t))=f(\phi _{1}(t),\phi _{2}(t),\phi _{3}(t))$ significa esprimere la funzione in termini della parametrizzazione data in precedenza.

Nel caso in cui la curva è piana la funzione non dipende dalla variabile $z$ e allora la precedente relazione si trasforma:

$\int _{\Gamma }f(x,y)\,\mathrm {d} s=\int _{a}^{b}f(\phi _{1}(t),\phi _{2}(t))\lVert \phi '(t)\rVert \,\mathrm {d} t$

L'integrale di linea così descritto è indipendente dalla rappresentazione parametrica (e non dipende dalla scelta dei punti $(x_{i},y_{i},z_{i})\$ né dalla partizione scelta per il calcolo del limite delle somme integrali). A differenza degli integrali di seconda specie (che riguardano i campi vettoriali) questo tipo di integrale non dipende nemmeno dall'orientazione della curva. Banalmente, se la funzione $f=1$ il calcolo di questo integrale curvilineo si riconduce al calcolo della lunghezza della curva.

Proprietà dell'integrale di prima specie

Valgono le proprietà tipiche degli integrali: linearità, additività e monotonia.

Si ha inoltre:

$\left|\int _{\Gamma }f\,\mathrm {d} s\right|\leq \int _{\Gamma }\left|f\right|\,\mathrm {d} s\leq \max _{\Gamma }\left|f\right|\cdot {\mbox{lungh}}(\Gamma )$

Applicazioni geometriche e fisiche

Una proprietà usata in fisica e in geometria è il calcolo del baricentro di una curva (che può essere materiale): esso è definito dal calcolo dalle coordinate:

$x_{B}={\frac {1}{{\mbox{lungh}}(\Gamma )}}\int _{\Gamma }x\,\mathrm {d} s$

$y_{B}={\frac {1}{{\mbox{lungh}}(\Gamma )}}\int _{\Gamma }y\,\mathrm {d} s$

$z_{B}={\frac {1}{{\mbox{lungh}}(\Gamma )}}\int _{\Gamma }z\,\mathrm {d} s$

Bibliografia

• (EN) Krantz, S. G. The Complex Line Integral. §2.1.6 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 22, 1999.

Voci correlate

• Curva nello spazio
• Integrale di linea
• Integrale di linea di seconda specie
• Integrazione complessa

Collegamenti esterni

• batmath.it.