Gruppoide (teoria delle categorie)

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In matematica, un gruppoide è una struttura algebrica usata per generalizzare gruppi e azioni di gruppo.

Il concetto di gruppoide è stato introdotto da Heinrich Brandt nel 1927[1]; spesso quindi tale entità viene chiamata gruppoide di Brandt.

Successivamente, inspirandosi alla teoria classica dei gruppi di Lie, in geometria differenziale è stata sviluppata una nozione di gruppoide dotato di una struttura differenziale compatibile, detto gruppoide di Lie.[2][3]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

In senso algebrico, un gruppoide è definito come un insieme G munito di una funzione parziale e di una funzione totale −1 che soddisfano le seguenti condizioni per ogni f e g in G:

  • è associativa, cioè se esistono sia che , allora e sono uguali
  • e sono sempre definite
  • Se è definita allora e

In senso categoriale, un gruppoide è definito come una categoria piccola in cui tutti i morfismi sono invertibili. Denotando e , rispettivamente, gli insiemi dei morfismi e degli oggetti, un gruppoide possiede le seguenti mappe di struttura:

  • Una mappa sorgente , che associa ad ogni morfismo il suo oggetto sorgente
  • Una mappa bersaglio , che associa ad ogni morfismo il suo oggetto bersaglio
  • Una moltiplicazione parziale , che associa a due morfismi compatibili e la loro composizione
  • Una mappa unità , che associa ad ogni oggetto il morfismo unità
  • Una mappa inversione , che associa ad ogni morfismo il suo inverso

Un gruppoide viene spesso schematicamente rappresentato da (le due frecce indicano le mappe sorgente e bersaglio).

Esempi e prime proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Dato un gruppoide , si definisce orbita attraverso l'insieme degli elementi di che si collegano ad tramite un morfismo di . Le orbite di un gruppoide formano una partizione di ; un gruppoide è detto transitivo se ammette una sola orbita, cioè se ogni due punti di possono essere da morfismi.

L'insieme dei morfismi che hanno sorgente e bersaglio uguale a è detto gruppo di isotropia in , e possiede una naturale struttura di gruppo. Se due oggetti e sono nella stessa orbita, i gruppi di isotropia e sono isomorfi. In particolare, tutti i gruppi di isotropia di un gruppoide transitivo sono isomorfi fra loro.

I concetti di morfismo di gruppoidi e di sottogruppoide sono definiti come i loro analoghi in teoria dei gruppi.

Ecco alcuni semplici esempi di gruppoidi:

  • Ogni gruppo è un gruppoide con un solo oggetto
  • Dato un insieme , il gruppoide unità è il gruppoide con e moltiplicazione triviale
  • Dato un insieme , il gruppoide coppia è il gruppoide con sorgente , bersaglio e moltiplicazione
  • Data un'azione (per esempio sinistra) di un gruppo G su un insieme M, il gruppoide di azione è definito sorgente , bersaglio e moltiplicazione

Gruppoidi con strutture geometriche[modifica | modifica wikitesto]

Un gruppoide topologico è un gruppoide in cui e sono spazi topologici, le mappe di struttura sono continue, e le mappe sorgente e bersaglio sono aperte. Questa nozione è la diretta generalizzazione di un gruppo topologico.

Analogamente, un gruppoide di Lie è un gruppoide topologico in cui e sono varietà differenziabili, le mappe di struttura sono lisce, e le mappe sorgente e bersaglio sono summersioni. Questa nozione è la diretta generalizzazione di un gruppo di Lie. Come per i gruppi di Lie, è possibile studiare un gruppoide di Lie attraverso la sua controparte infinitesima, il suo algebroide di Lie, che generalizza il concetto di algebra di Lie.[4]

Un gruppoide di Lie può essere dotato di ulteriori strutture geometriche: è sufficiente equipaggiare la varietà con una struttura geometrica, e imporre un'appropriata condizione algebrica di compatibilità con la moltiplicazione[5]. Questi tipi di gruppoidi sono strumenti fondamentali in geometria simplettica e geometria di Poisson[6][7][8] e in teoria delle foliazioni[9].

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (DE) H. Brandt Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes Mathematische Annalen 96, 1927, 360-366[collegamento interrotto]
  2. ^ Mackenzie, K. (Kirill), Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry, Cambridge University Press, 1987, ISBN 978-1-107-36145-4, OCLC 839305395. URL consultato l'8 febbraio 2020.
  3. ^ Mackenzie, K. (Kirill), General theory of lie groupoids and lie algebroids, Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-1-107-32588-3, OCLC 841393151. URL consultato l'8 febbraio 2020.
  4. ^ Marius Crainic e Rui Fernandes, Integrability of Lie brackets, in Annals of Mathematics, vol. 157, n. 2, 1º marzo 2003, pp. 575–620, DOI:10.4007/annals.2003.157.575. URL consultato l'8 febbraio 2020.
  5. ^ (EN) Yvette Kosmann-Schwarzbach, Multiplicativity, from Lie groups to generalized geometry, in Banach Center Publications, vol. 110, 2016, pp. 131–166, DOI:10.4064/bc110-0-10. URL consultato l'8 febbraio 2020.
  6. ^ Alan Weinstein, Symplectic groupoids and Poisson manifolds, in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 16, n. 1, 1º gennaio 1987, pp. 101–105, DOI:10.1090/s0273-0979-1987-15473-5. URL consultato l'8 febbraio 2020.
  7. ^ (EN) Alan Weinstein, Coisotropic calculus and Poisson groupoids, in Journal of the Mathematical Society of Japan, vol. 40, n. 4, 1988-10, pp. 705–727, DOI:10.2969/jmsj/04040705. URL consultato l'8 febbraio 2020.
  8. ^ (EN) Marius Crainic e Rui Loja Fernandes, Integrability of Poisson Brackets, in Journal of Differential Geometry, vol. 66, n. 1, 2004-01, pp. 71–137, DOI:10.4310/jdg/1090415030. URL consultato l'8 febbraio 2020.
  9. ^ Moerdijk, Ieke e Mrc̆un, Janez, Introduction to foliations and Lie groupoids, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-511-06307-5, OCLC 57254299. URL consultato l'8 febbraio 2020.
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