Funzione di Prandtl-Meyer

Variazione nella funzione Prandtl-Meyer ($\nu$) con numero di Mach ($M$) e il rapporto tra i calori specifici ($\gamma$). Le linee tratteggiate mostrano il valore limite $\nu _{\text{max}}$ poiché il numero di Mach tende all'infinito.

In aerodinamica la funzione di Prandtl-Meyer descrive l'angolo attraverso il quale un flusso si trasforma isoentropicamente da sonico ($M=1$) a supersonico ($M>1$). L'angolo massimo attraverso il quale un flusso sonico può essere trasformato utilizzando una curva convessa si può calcolare per $M$ tendente a $\infty$. Per un gas ideale si esprime come segue:

${\begin{aligned}\nu (M)&=\int {\frac {\sqrt {M^{2}-1}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}{\frac {\,dM}{M}}\\[4pt]&={\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}\cdot \arctan {\sqrt {{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}(M^{2}-1)}}-\arctan {\sqrt {M^{2}-1}}\end{aligned}}$

Dove $\nu$ è la funzione di Prantl-Meyer, $M$ è il numero di Mach e $\gamma$ è il rapporto tra i calori specifici del gas.

Per convezione la costante d'integrazione viene scelta in modo tale che $\nu (1)=0$.

Al variare del numero di Mach da $1$ a $\infty$, $\nu$ assume valori da $0$ a $\nu _{\text{max}}$, con

$\nu _{\text{max}}={\frac {\pi }{2}}{\bigg (}{\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}-1{\bigg )}$

Per l'espansione isoentropica,	$\nu (M_{2})=\nu (M_{1})+\theta \,$
Per la compressione isoentropica,	$\nu (M_{2})=\nu (M_{1})-\theta \,$

dove $\theta$ è il valore assoluto dell'angolo attraverso il quale il flusso ruota, $M$ è il numero di Mach e i pedici 1 e 2 denotano le condizioni iniziali e finali rispettivamente.

Bibliografia

• Hans W. Liepmann e Roshko, A., Elements of Gasdynamics, Dover Publications, 2001, ISBN 978-0-486-41963-3.

Voci correlate

• Dinamica dei gas