Funzione di Lyapunov

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In matematica, la funzione di Lyapunov, introdotta dal matematico russo Aleksandr Mikhailovič Lyapunov, è una funzione scalare utilizzata per studiare la stabilità di un punto di equilibrio di un sistema dinamico, generalmente descritto da un'equazione differenziale ordinaria autonoma. L'esistenza di una funzione che soddisfa particolari proprietà, la funzione di Lyapunov, garantisce la stabilità del un punto di equilibrio. Condizioni più deboli per la funzione di Lyapunov sono fornite ad esempio dal teorema di LaSalle (in cui non deve essere definita positiva).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dato un sistema dinamico:

\dot x = f(x,t) \qquad x=(x_1,\dots x_n) \in \R^n

sia x_0 un punto fisso (punto di equilibrio):

f(x_0,t)=0

dove si è supposto f:U\times \R^+ \to \R^n, definita in un intorno U di x_0 \in \R^n, una funzione continua e differenziabile con continuità rispetto a x.

Una funzione scalare V:\ U \to \R è detta funzione di Lyapunov se:

V(x) > 0 \qquad x \ne x_0
V(x_0) =0

e:

\frac{\partial}{\partial x_1}V(x) f_1(x) + \dots + \frac{\partial}{\partial x_n}V(x) f_n(x) \le 0

Il lemma di Lyapunov stabilisce che se la funzione V esiste, allora il punto di equilibrio x_0 è stabile (secondo Lyapunov).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Alessandro Giua, Carla Seatzu, Analisi dei sistemi dinamici, Springer, 2006, ISBN 978-88-470-0284-5.
  • (EN) Khalil, H.K., Nonlinear systems, Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1996.

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