Funzione di Ljapunov

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
(Reindirizzamento da Funzione di Lyapunov)
Jump to navigation Jump to search

In matematica, la funzione di Ljapunov, introdotta dal matematico e fisico russo Aleksandr Michailovič Ljapunov, è una funzione scalare utilizzata per studiare la stabilità di un punto di equilibrio di un sistema dinamico, generalmente descritto da un'equazione differenziale ordinaria autonoma. L'esistenza di una funzione che soddisfa particolari proprietà, la funzione di Ljapunov, garantisce la stabilità di un particolare punto di equilibrio. Condizioni più deboli per la funzione di Ljapunov sono fornite ad esempio dal teorema di LaSalle (in cui non deve essere definita positiva).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Dato un sistema dinamico:

sia un punto fisso (punto di equilibrio):

dove si è supposto , definita in un intorno di , una funzione continua e differenziabile con continuità rispetto a .

Una funzione scalare è detta funzione di Ljapunov se:

e:

Il lemma di Ljapunov stabilisce che se la funzione esiste, allora il punto di equilibrio è stabile (secondo Ljapunov).

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Dato il sistema di Lotka-Volterra:

si ha che, moltiplicando per e per e poi sottraendole, un suo integrale primo è:

La funzione definita da:


è una funzione di Ljapunov del sistema per il punto . Infatti:

  • poiché è un punto di minimo globale.

Di conseguenza, il punto è stabile.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Alessandro Giua, Carla Seatzu, Analisi dei sistemi dinamici, Springer, 2006, ISBN 978-88-470-0284-5.
  • C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica volume 2, MASSON, 1998.
  • (EN) Khalil, H.K., Nonlinear systems, Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1996.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Controllo di autoritàLCCN (ENsh85076428 · GND (DE4274502-0 · BNF (FRcb119777049 (data)
Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica