Funzione di Carmichael

In matematica, ed in particolare nella teoria dei numeri, la funzione di Carmichael $\lambda (n)$ è una funzione aritmetica che prende nome dal matematico statunitense Robert Daniel Carmichael (1879-1967).

Definizione

Sia $n\in \mathbb {N} \backslash \left\{0\right\}$ e sia $n=p_{1}^{a_{1}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{a_{r}}$ la fattorizzazione in primi di $n$. Si ha:

$\lambda \ :\ \mathbb {N} \backslash \left\{0\right\}\ \rightarrow \ \mathbb {Z}$

$\lambda (n):={\text{mcm}}(\left\{\varphi (p_{i}^{a_{i}})\right\})$

dove mcm indica il minimo comune multiplo in $\mathbb {Z}$ e $\varphi$ la funzione di Eulero.

Dunque, $\lambda (n)$ è l'esponente (minimo comune multiplo degli ordini o periodi degli elementi) del gruppo delle unità (gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili) di $\mathbb {Z} _{n}$.

Teorema di Carmichael

Sia $n$ un numero intero dispari, sia $a$ un intero coprimo con $n$. Si ha allora che la funzione di Carmichael di $n$ è il più piccolo numero intero positivo $m$ tale che:

$a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$

Proprietà

Essendo sempre $\varphi$ la funzione indicatrice di Eulero, si ha che $\lambda (n)$ è un divisore di $\varphi (n)$.

Voci correlate

• Minimo comune multiplo
• Numero di Carmichael
• Numero primo
• Funzione di Eulero