Formula di de Moivre

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La formula di de Moivre è una delle basi dell'analisi dei numeri complessi, ed è legata al piano complesso, ovverosia alla rappresentazione dei numeri complessi su un piano, considerando l'asse x l'asse dei reali e l'asse l'asse degli immaginari. Essa permette di esprimere la potenza di un numero complesso nella sua forma trigonometrica.

valida per ogni numero reale , con intero e unità immaginaria, è un importante contributo alla matematica in quanto collega i numeri complessi alla trigonometria. Applicando al membro sinistro lo sviluppo del binomio e uguagliando le parti reali e le parti immaginarie dell'identità nella nuova forma, si ottengono espressioni utili per e in termini di e . Inoltre si può usare la formula per trovare le espressioni esplicite per le radici -esime dell'unità, cioè i valori per i numeri complessi tali che .

Abraham de Moivre era un buon amico di Newton. Nel 1698 scrisse che la formula era nota a Newton perlomeno già nel 1676. La formula di de Moivre può essere derivata dalla formula di Eulero, anche se la precede storicamente, tramite lo sviluppo in serie di Taylor

e dalla legge esponenziale

Dimostrazione per induzione[modifica | modifica wikitesto]

Distinguiamo i tre casi relativi a , e .

Per si procede per induzione. Per la formula è una semplice uguaglianza di un'espressione con se stessa. Come ipotesi induttiva assumiamo che sia valida per qualche intero positivo , cioè assumiamo

Consideriamo poi il caso :

(per l'ipotesi induttiva)
(per le formule di addizione di seno e coseno)

L'ultima identità dice che la formula, se vale per allora è valida per e per il Principio di induzione matematica si conclude che la formula vale per tutti gli interi positivi.

Per la formula si riduce alla semplice identità , e .

Per , si considera l'intero positivo . Di conseguenza

, per quanto vale per ; razionalizzando il denominatore
e, per le proprietà trigonometriche di seno e coseno,

Dunque la formula è vera per tutti i valori interi di . QED

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

La formula di de Moivre viene generalizzata nel modo seguente.

Se e sono numeri complessi, allora

è una funzione a più valori, mentre

non lo è, e si può affermare che è un valore di

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

(EN) Eric W. Weisstein, Formula di de Moivre, in MathWorld, Wolfram Research.

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