Formula di Frobenius

In matematica, più nello specifico nella teoria delle rappresentazioni, la formula di Frobenius, introdotta da G. Frobenius, calcola i caratteri di rappresentazioni irriproducibili del gruppo simmetrico S_n.

Statement

Sia $\chi _{\lambda }$ il carattere di una rappresentazione irriproducibile di un gruppo simmetrico $S_{n}$ corrispondente ad una partizione $\lambda$ of n: $n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}$ e$\ell _{j}=\lambda _{j}+k-j$. Per ogni partizione $\mu$ din, $C(\mu )$ denota il gruppo di coniugio in $S_{n}$ a lui corrispondente, e sia $i_{j}$ il numero di volte j che appare in $\mu$ (so $\Sigma \,i_{j}j=n$). Allora la formula di Frobenius afferma il valore costante di $\chi _{\lambda }$ su $C(\mu ),$

$\chi _{\lambda }(C(\mu )),$

è il coefficiente del monomiale $x_{1}^{\ell _{1}}\dots x_{k}^{\ell _{k}}$ nel polinomiale omogeneo

$\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\;\prod _{j}P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})^{i_{j}},$

dove $P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})=x_{1}^{j}+\dots +x_{k}^{j}$.

Esempio: Sia $n=4$ e $\lambda :4=2+2$. Se $\mu :4=1+1+1+1$, che corrisponde alla classe dell'elemento identità, allora $\chi _{\lambda }(C(\mu ))$ è il coefficiente di $x_{1}^{3}x_{2}^{2}$ in

$(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})^{4}$

che è 2. Similarmente, se $\mu :4=3+1$, alora $\chi _{\lambda }(C(\mu ))$, dato da

$(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}),$

è −1.

Bibliografia

• A. Ram, A Frobenius formula for the characters of the Hecke algebras, Inventiones mathematicae, vol 106, no 1, pp 461–488, 1991.
• Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 MR 1354144