Formula di Abel-Plana

In matematica, la formula di Abel-Plana è un tipo di sommatoria scoperta per vie indipendenti da Niels Henrik Abel nel 1823, e da Giovanni Antonio Amedeo Plana nel 1820. La formula è la seguente:

\sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx+{\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.

Essa vale per una funzione f che è olomorfa nella regione Re(z) ≥ 0, e che soddisfa una opportuna condizione di crescita nella stessa regione; ad esempio, è sufficiente assumere che |f(z)| è limitata da C/|z|^1+ε in questa regione per alcune costanti C, ε > 0, sebbene la formula continui a valere anche con limiti molto meno ristretti ^[1].

Un esempio è fornito dalla Funzione zeta di Hurwitz:

\zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan {\frac {t}{\alpha }}\right)}{(\alpha ^{2}+t^{2})^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dt}{e^{2\pi t}-1}}.

,

valida per $\forall s\in \mathbb {C}$ . Per $\alpha =1$ , otteniamo la funzione zeta di Riemann, che possiamo scrivere nel modo seguente:

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan \left(y\right)\right)}{(y^{2}+1)^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dy}{e^{2\pi y}-1}},

valida anch'essa $\forall s\in \mathbb {C}$ .
Abel elaborò questa variante per somme alternate:

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{2\sinh(\pi t)}}\,dt.

Una somma alternata converge se e solo se converge la sequenza di somme parziali interna associata.

Note[modifica | modifica wikitesto]

^ Olver,Asymptotics and special functions, 1997, p.290

N.H. Abel, Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies, 1823.
P. L. Butzer, P. J. S. G. Ferreira, G. Schmeisser e R. L. Stens, The summation formulae of Euler-Maclaurin, Abel-Plana, Poisson, and their interconnections with the approximate sampling formula of signal analysis, in Results in Mathematics, vol. 59, n. 3, 2011, pp. 359–400, DOI:10.1007/s00025-010-0083-8, ISSN 1422-6383 (WC · ACNP), MR 2793463.
Frank William John Olver, Asymptotics and special functions, AKP Classics, Wellesley, MA, A K Peters Ltd., 1997 [1974], ISBN 978-1-56881-069-0, MR 1429619.
G.A.A. Plana, Sur une nouvelle expression analytique des nombres Bernoulliens, propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation des suites, in Mem. Accad. Sci. Torino, vol. 25, 1820, pp. 403–418.