Fattoriale crescente di base q

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In matematica, nel campo della combinatoria, si dice fattoriale crescente di base q nella x relativo a \infty la serie

 (x;q)_\infty := \prod_{k=0}^\infty (1-q^k x),

per le variabili complesse x e q; se si pongono problemi di convergenza chiediamo che sia |q|<1.

Si dice invece fattoriale crescente di base q nella x relativo al numero complesso n

 (x;q)_n := \frac{(x;q)_\infty}{(q^n x;q)_\infty}

Se n è un intero naturale

 (x;q)_n := \prod_{k=0}^{n-1} (1-q^k x)=(1-x)(1-xq)(1-xq^2)\cdots(1-xq^{n-1})

Risulta quindi individuata una famiglia di successioni di polinomi nella x parametrizzata da q che inizia con i seguenti componenti:

 (x;q)_0 = 1
 (x;q)_1 = 1-x
 (x;q)_2 = (1-x)(1-qx) = 1 - (1+q)x + qx^2 \qquad
\,(x;q)_3 = (1-x)(1-qx)(1-q^2x) = 1 - (1+q+q^2)x + (q+q^2+q^3)x^2 -q^3x^3\,

Questi polinomi (formali) sono chiamati anche q-fattoriali crescenti, q-simboli di Pochhammer e simboli di Pochhammer di base q. Essi sono ampiamente utilizzati nelle formule esprimenti proprietà delle serie ipergeometriche di base q.

Notazione con argomenti multipli[modifica | modifica sorgente]

Dato che le identità che coinvolgono i q-simboli di Pochhammer spesso contengono il prodotto di più simboli, convenzionalmente si scrive un prodotto come un unico simbolo con argomenti multipli:

(x_1,x_2,\ldots,x_m;q)_n = (x_1;q)_n (x_2;q)_n \ldots (x_m;q)_n.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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