Estremo superiore e estremo inferiore

In matematica, l'estremo superiore di un insieme $E$ contenuto in un insieme ordinato $X$ è il più piccolo elemento dei maggioranti di $E$.

In modo duale, l'estremo inferiore di $E$ è definito come il più grande elemento dei minoranti di $E$.

Estremo superiore e inferiore possono appartenere ad $E$ oppure no. Nel primo caso essi coincidono con il suo massimo e minimo. In generale il concetto di massimo e di estremo superiore non coincidono e non vanno confusi.

I concetti di estremo superiore e inferiore sono applicabili ad ogni struttura matematica per la quale è chiaro cosa si intende per un elemento essere "maggiore o uguale" di un altro elemento. Quindi il concetto di estremo superiore si applica agli insiemi ordinati, per esempio sottoinsiemi di numeri reali, razionali, naturali, ma non per esempio di numeri complessi.

Definizione

Siano $(X,\leq )$ un insieme totalmente ordinato, $E\subseteq X$. Se esiste un elemento $y\in X$ tale che:

• $y$ è un maggiorante di $E$
• $\nexists z\in X$ tale che $z$ è un maggiorante di $E$ e $z<y$ (cioè il maggiorante più piccolo è $y$ stesso)

si dice che $y$ è estremo superiore di $E$, in simboli $y=\sup E$.

Se invece esiste un elemento $x\in X$ tale che:

• $x$ è un minorante di $E$
• $\nexists a\in X$ tale che $a$ è un minorante di $E$ e $a>x$ (cioè il minorante più grande è $x$ stesso)

si dice che $x$ è estremo inferiore di $E$, in simboli $x=\inf E$. Se l'insieme dei maggioranti di un insieme è non vuoto l'insieme si dice limitato superiormente, mentre se l'insieme dei minoranti è non vuoto l'insieme si dice limitato inferiormente. Ovviamente, se esiste l'estremo inferiore, allora l'insieme è limitato inferiormente, mentre se esiste l'estremo superiore l'insieme è limitato superiormente. Un insieme limitato superiormente e inferiormente si dice limitato.

Sottoinsiemi della retta reale

Se si considera un insieme $E\subseteq \mathbb {R} ^{*}$ della retta reale estesa, questo ha sicuramente estremo superiore ed estremo inferiore. Ciò è garantito dall'assioma di Dedekind, che garantisce che ogni sottoinsieme non vuoto di $\mathbb {R}$ è completo e dalla convenzione che, se $E$ non è limitato superiormente (inferiormente) in $\mathbb {R}$, si dice che il suo estremo superiore (inferiore) è infinito: $\sup E=+\infty$ e/o $\inf E=-\infty$.

Esempi

Gli insiemi seguenti sono da considerarsi come sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali.

• $\sup\{1,2,3\}=3$

In questo caso l'estremo superiore coincide col massimo. Si ha che $3$ è l'estremo superiore perché è un maggiorante dell'insieme e ogni numero reale minore di $3$ non è maggiorante dell'insieme;

• $\inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\inf(0,1)=0$

L'insieme ha estremo inferiore, ma non ha minimo, infatti $0$ non appartiene all'insieme;

• $\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=\sup[0,1]=1$

L'insieme ha estremo superiore e massimo coincidenti;

• $\inf\{y\in \mathbb {R} :y=1/x,x>0\}=\inf(0,\infty )=0$

anche in questo caso l'estremo inferiore non appartiene all'insieme e l'insieme non ha minimo. Si noti che l'estremo inferiore coincide con il limite della funzione monotona $1/x$ per $x\to \infty$

• $\sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 4\}=2$

l'estremo superiore coincide con il massimo;

• $\sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<4\}=2$

come prima ma l'insieme non ha massimo;

• $\sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 2\}={\sqrt {2}}$

in quest'ultimo caso l'insieme è limitato superiormente ma l'estremo superiore non coincide con il massimo, poiché l'insieme non ha massimo.

Completezza ed esistenza

Se un insieme non è completo può essere che un sottoinsieme limitato superiormente non ammetta estremo superiore. Per esempio, sia $E\subseteq \mathbb {Q}$ definito come:

$\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}\leq 2\}$

Questo insieme è sicuramente limitato superiormente poiché se $x\in \mathbb {Q}$ e $x\geq 2$, $x$ è maggiorante di $E$. L'insieme però non ha estremo superiore (${\sqrt {2}}$ non appartiene a $\mathbb {Q}$). Si noti che questo esempio è diverso dall'ultimo esempio della sezione precedente, perché prima si ricercava l'estremo superiore in un insieme completo, $\mathbb {R}$, ora no. Si è dimostrato che per quanto riguarda spazi non completi esistono sottoinsiemi limitati superiormente ma che non ammettono estremo superiore.

Notazioni

Spesso si incontrano notazioni del tipo:

$y=\inf _{x\in A}f(x)$

dove $f$ è una funzione a valori reali su un dominio qualsiasi e $A$ è un sottoinsieme del suo dominio. Questa notazione è un modo compatto per esprimere:

$y=\inf\{z=f(x),x\in A\}$

indica cioè l'estremo inferiore dell'immagine di $A$ mediante $f$.

Esempi

Un primo esempio è

$\sup _{x\in \mathbb {R} }x^{2}=+\infty$

Infatti in questo insieme la funzione non è limitata superiormente.

Considerando invece:

$\inf _{x\in [0,1]}x^{2}=0$

e anche:

$\inf _{x\in (0,1)}x^{2}=0$

in questo caso però $0$ non è il minimo dell'insieme, in quanto tale valore non esiste, come non esiste il minimo della funzione (è sul bordo del dominio).

Altri esempi sono:

$\sup _{x\in \mathbb {R} }-\exp(-x)=0\qquad \sup _{x\in (-1,1)}{-x^{2}+1}=1$

Funzioni monotone

Come si è visto in uno degli esempi precedenti, esiste una connessione tra il concetto di estremo superiore e quello di limite. Sia $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ una funzione monotona in $(a,b)$. Allora esistono:

$\lim _{x\to b_{-}}f(x)\qquad \lim _{x\to a_{+}}f(x)$

e si ha (nel caso sia $f$ non decrescente):

$\lim _{x\to b_{-}}f(x)=\sup _{x\in (a,b)}f(x)$ e $\lim _{x\to a_{+}}f(x)=\inf _{x\in (a,b)}f(x)$

con risultati speculari se $f$ è invece non crescente.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlate

• Funzione monotona
• Limite superiore e limite inferiore
• Maggiorante e minorante
• Relazione d'ordine

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) L.D. Kudryavtsev, Upper and lower bounds, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) supremum, in PlanetMath.