Equazione di Clapeyron

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Un tipico diagramma delle fasi. La linea verde tratteggiata è caratteristica del comportamento anomalo di alcune sostanze come l'acqua

L'equazione di Clapeyron (o Clausius–Clapeyron) descrive la variazione della pressione con la temperatura lungo la curva di equilibrio tra due fasi di una stessa sostanza:[1]

\frac{dp}{dT}=\frac{\lambda }{T(v_B-v_A)}

dove

  • p è la pressione,
  • T è la temperatura,
  • λ è il calore latente (per unità di massa) di transizione da una fase all'altra,
  • v è il volume specifico delle due fasi A e B.

Tale equazione regola i cambiamenti di stato.

Derivazione dell'equazione[modifica | modifica sorgente]

Grafico T(Q) del calore necessario ai passaggi di stato di una sostanza.

Prima di procedere con la derivazione dell'equazione di Clausius-Clapeyron ricordiamo alcuni risultati preliminari riguardanti l'energia libera di Gibbs.

  • Per sistemi costituiti da due fasi di una stessa sostanza coesistenti a pressione e temperatura costanti, all'equilibrio si deve avere l'ugualianza delle energie libere di Gibbs molari delle due fasi;
G_A=G_B \qquad(1)
  • Valgono le seguenti relazioni:
\frac{\partial G}{\partial T}=-S \qquad(2a)
\frac{\partial G}{\partial p}=V \qquad(2b)
Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Energia libera di Gibbs.

Procediamo ora con la dimostrazione. Differenziando la (1) otteniamo:

\mbox{d}G_A(T,p)=\mbox{d}G_B(T,p)
\frac{\partial G_A}{\partial T}dT+\frac{\partial G_A}{\partial p}dp=\frac{\partial G_B}{\partial T}dT+\frac{\partial G_B}{\partial p}dp

Utilizzando le (2):

V_A\mbox{d}p-S_A\mbox{d}T=V_B\mbox{d}p-S_B\mbox{d}T
\frac{\mbox{d}p}{\mbox{d}T}=\frac{S_B-S_A}{V_B-V_A}.

Dato che le transizioni di fase avvengono a temperatura costante:

S_B-S_A=\int_A^B\frac{\delta Q}{T}=\frac{1}{T}\int_A^B\delta Q=\frac{\lambda M}{T};

sostituendo otteniamo infine il risultato cercato:

\frac{\mbox{d}p}{\mbox{d}T}=\frac{\lambda M}{T(V_B-V_A)}

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Silvestroni, op. cit., p. 205

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]