Equazione di Burgers

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, l'equazione di Burgers, il cui nome si deve a Johannes Martinus Burgers, è un'equazione differenziale alle derivate parziali fondamentale per la meccanica dei fluidi, e utile anche in numerose aree della matematica applicata, quali la modellazione della gasdinamica e del flusso del traffico.

Per una data funzione di due variabili, la forma generale dell'equazione di Burgers è:

Quando , l'equazione diventa inviscida:

che è un prototipo per equazioni per le quali la soluzione può sviluppare discontinuità a funzione gradino (onde d'urto). La precedente equazione è la "forma convenzionale" dell'equazione di Burgers, mentre la "forma conservazionale" è:

Soluzione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Burgers inviscida è un'equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine. La sua soluzione può essere costruita con il metodo delle caratteristiche. Seguendo questo metodo, se è una soluzione dell'equazione differenziale ordinaria:

la funzione è costante come funzione di . Allora è una soluzione del sistema di equazioni ordinarie:

La soluzione di questo sistema, in termini dei valori iniziali, è:

Sostituendo , e , il sistema diventa:

In conclusione:

Questa è una relazione implicita che determina la soluzione dell'equazione di Burgers inviscida, solo se le caratteristiche non si intersecano. Se le caratteristiche si intersecano, non esiste una soluzione classica all'equazione.

L'equazione di Burgers nel caso viscoso può essere linearizzata con la sostituzione di Cole-Hopf:

che la trasforma nell'equazione del calore:

Questo permette di risolverla come un problema ai valori iniziali:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) F.J. Alexander, H. Chen, S. Chen, G.D. Doolen, Lattice Boltzmann model for compressible fluids, in Physical Review A, vol. 46, nº 4, 1992, pp. 1967-1970, DOI:10.1103/PhysRevA.46.1967.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]