Epigrafico (matematica)

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In analisi matematica, l'epigrafico di una funzione

f:A\to \R

definita su un insieme A è l'insieme di punti che stanno al di sopra o sul grafico della funzione:

\mbox{epi} f = \{ (x, \mu) \, : \, x \in A,\, \mu \in \mathbb{R},\mu \ge \ f(x)\} \subseteq A\times \mathbb{R}

Se A è un sottoinsieme di \R^n, l'epigrafico è un sottoinsieme di \mathbb{R}^{n+1}.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Convessità[modifica | modifica sorgente]

Nell'ipotesi:

 A = \mathbb{R}^n

Una funzione è convessa se e solo se il suo epigrafico è un insieme convesso. Un insieme A è detto convesso se i segmenti che hanno estremi in A sono tutti suoi sottoinsiemi

Funzioni lineari[modifica | modifica sorgente]

L'epigrafico di una funzione affine reale

g:\R^n \to \R

è un semispazio di \R^{n+1}.

Semicontinuità[modifica | modifica sorgente]

Una funzione è inferiormente semicontinua se e solo se il suo epigrafico è chiuso.