Disuguaglianze di Boole e di Bonferroni
In teoria della probabilità, la disuguaglianza di Boole, nota anche come limite per l'unione, afferma che per ogni collezione finita o numerabile di eventi, la probabilità che accada almeno uno degli eventi è minore o uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Questa disuguaglianza viene generalizzata da due disuguaglianze di Bonferroni.
Disuguaglianza di Boole
[modifica | modifica wikitesto]Consideriamo un insieme finito o numerabile di eventi A1, A2, A3, ... . Per esso vale la disuguaglianza
Disuguaglianze di Bonferroni
[modifica | modifica wikitesto]Nel caso di collezioni finite di eventi, la precedente disuguaglianza può venire generalizzata nelle cosiddette disuguaglianze di Bonferroni le quali forniscono estremi superiori e inferiori alla probabilità per l'unione di tali eventi.
Introduciamo le seguenti quantità:
e per 2 < k ≤ n,
dove si intende che la somma sia da effettuare sopra tutte le k-uple di interi soddisfacenti .
Per gli interi dispari k ≥ 1 si dimostra che
mentre per gli interi pari k ≥ 2
La disuguaglianza di Boole si ottiene come caso particolare relativo a k = 1.