Disuguaglianza di riarrangiamento

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La disuguaglianza di riarrangiamento consiste nell'osservazione che il prodotto scalare fra due vettori è massimo (risp. minimo) quando le componenti dei vettori sono ordinate nello stesso modo (risp. in modo opposto).

Se le componenti dei vettori a e b sono

allora

è il valore massimo che può assumere il prodotto scalare fra i due vettori (quando le componenti sono ordinate nello stesso modo) e

è il valore minimo che lo stesso può assumere.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Procediamo per assurdo: supponiamo che il valore massimo che può assumere il prodotto scalare non si possa ottenere con le componenti dei vettori a e b ,ordinante nello stesso modo:

Poniamo: e : (considerando le corrispondenze: e )

molti elementi della prima serie si annullano con tutti gli elementi della seconda:

Questa disugualianza è sempre vera in base alle condizioni iniziali e

Questo dimostra che non è possibile maggiorare con un semplice scambio il prodotto quando le componenti a e b non sono ordinate allo stesso modo.

La dimostrazione andrebbe conclusa mostrando che per ogni catena di scambi maggiore di 2 non è possibile la maggiorazione.

Uso[modifica | modifica wikitesto]

Questa disuguaglianza può essere usata per dimostrarne alcune più complesse come la disuguaglianza della media aritmetica e geometrica, la Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e la Disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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