Discussione:Successione (matematica)

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Successione (matematica)
Argomento di scuola secondaria di II grado
Materia	matematica
Dettagli
Dimensione della voce	19 076 byte
Progetto Wikipedia e scuola italiana

Ho ripristinato l'incipit precedente, perché mi sembrava più chiaro ed era più corretto. Ad esempio, una voce su wikipedia dovrebbe iniziare sempre con una frase del tipo

«In matematica, una successione è una sequenza ordinata di oggetti, detti termini, che possono essere numerati; più formalmente la successione è una funzione che associa a ciascun numero naturale un elemento di un insieme J.»

e non con una frase

«Dato un insieme A, una successione in A è un sottoinsieme di A i cui elementi risultino ordinati e numerabili, cioè tali che sia definito un "primo" elemento, un "secondo", un "terzo", eccetera (partenda da "zeresimo" se in $\mathbb {N}$ si include lo 0).»

Infatti bisogna innanzitutto spiegare in che ambito siamo (matematica), evitare di iniziare in matematichese ("dato"), quindi cercare di non usare simboli ma piuttosto concetti che già esistono altrove e lnkarli. Infine, cosa più importante, la definizione proposta è sbagliata: se la successione contiene elementi ripetuti, questa non è un sottoinsieme. Ylebru dimmela 22:50, 5 set 2007 (CEST)

Successioni

cb La discussione proviene dalla pagina Discussioni progetto:Matematica.
– Il cambusiere --Piddu (msg) 17:00, 17 apr 2008 (CEST)

Nonostante nei giorni scorsi abbia avuto modo di discutere e aggiustare, con alcuni di voi, le voci sulle successioni e le successioni di funzioni, sono ancora insoddisfatto di entrambi gli incipit. Sopratutto perché non emerge chiaramente che $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ non è un insieme, e anche perché non si fa nessun tentativo di dire "che cos'è". Oltretutto per evitare certe ambiguità abbiamo finito per ripiegare su una notazione che non è nemmeno del tutto standardizzata.

Personalmente ho cercato di affrontare queste questioni in una sezione di approfondimento che ho aggiunto in fondo alla voce sulle successioni, ma per come stanno ora le cose quella sezione sembra quasi stare lì a dire che ciò che è scritto prima è "sbagliato". Invece mi piacerebbe che ci fosse un po' più di coerenza fra le varie sezioni della voce, e che quella sezione fosse effettivamente una sezione di approfondimento di concetti e problemi già introdotti o comunque accennati precedentemente.

Per tutte queste ragioni proporrei di modificare l'incipit della voce Successione (matematica) nel modo seguente:

---

INTRODUZIONE

In matematica, una successione può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da un numero infinito di oggetti, detti termini della successione, tra i quali sia possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un n-mo termine per ogni intero n.

A differenza di quanto avviene per gli insiemi, per una successione è rilevante l'ordine in cui gli oggetti si trovano, e uno stesso oggetto può comparire più volte. Tali caratteristiche sono le stesse che distinguono una n-upla ordinata da un insieme costituito da n elementi, per cui una successione può anche essere considerata l'estensione infinita di una n-pla ordinata.

Poiché i termini di una successione sono infiniti, essi non possono mai essere scritti tutti in modo esplicito. Di conseguenza per rappresentare una successione ci si limita a scrivere alcuni termini seguiti da puntini di sospensione e dall'indicazione del termine generico, così:

$a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots$

Normalmente si rende necessario delimitare i termini di una successione, e lo si fa per mezzo di parentesi. Dal momento che nel caso finito la differenza fra una n-pla ordinata e un insieme viene evidenziata usando per la n-pla le parentesi tonde o acute e per l'insieme le parentesi graffe, anche nel caso infinito potrebbe essere utile usare le parentesi tonde o acute per delimitare una successione. Tale consuetudine tuttavia non si è ancora imposta, e seguendo la tradizione si è soliti delimitare anche le successioni con le parentesi graffe:

$\{a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots \}$

Questa espressione può essere scritta in modo più sintetico indicando il solo termine generico $a_{n}$ e l'insieme in cui varia n: $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$.

DEFINIZIONE

Come si è detto non è possibile scrivere esplicitamente una successione per esteso, e ci si limita a scrivere i primi termini con l'indicazione del termine generico, oppure il solo termine generico nella forma $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ o $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. D'altra parte il termine generico di una successione non può che essere indicato per mezzo di una espressione che dipende da n, oppure che dipende da alcuni termini precedenti della successione. Ad esempio la successione dei numeri pari si scrive così:

$\{0,2,4,\cdots ,2n,\cdots \}:=\{2n\}_{n\in \mathbb {N} }$

mentre la successione i cui termini dal terzo in poi si ottengno sommando i due precedenti (detta successione di Fibonacci) si scrive così:

$0,1,\cdots ,a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},\cdots$

In questo modo si ottengono tutte le informazioni necessarie a calcolare anche tutti gli altri termini della successione. Infatti:

• se l' n-mo termine $a_{n}$ è espresso in dipendenza di n, quella dipendenza definisce direttamente una funzione che al generico intero n associa il termine n-mo;
• se invece l' n-mo termine $a_{n}$ è espresso in dipendenza di alcuni termini precendenti della successione, e se sono dati i valori di un numero sufficiente di termini iniziali, allora la funzione che associa $a_{n}$ a n resta definita implicitamente in modo ricorsivo.

Comunque sia, per definire in modo esauriente una successione occorre poter determinare $a_{n}$ per ogni n, sicché in definitiva bisogna disporre - in qualche modo - di tutte le informazioni necessarie a definire in modo univoco una funzione f tale che $a_{n}=f(n)$. E poiché ad ogni successione di termini resta associata una e una sola funzione siffatta, si può anche identificare la successione con la funzione stessa. Questo è effettivamente ciò che si fa nella definizione formale, per cui il termine 'successione' può riferirsi sia alla successione dei termini sia alla funzione che genera la successione dei termini.

Definizione formale

Una successione $\phi$ in $A$ è un'applicazione da N a un insieme $A$ non vuoto:

$\phi :\mathbb {N} \to A$

Dominio

[...]

Codominio

[...]

---

Questa è la mia proposta. Chi ha letto avrà notato che in essa si ricorre abbondantemente al concetto di ennupla ordinata, per cui il rimando diventa essenziale. E siccome quella voce ancora non esisteva, l'ho creata ex novo, cogliendo l'occasione per sistemare anche la voce sulla coppia ordinata. Anche in quella voce, dopo tutte le formalità del caso, ho aggiunto in fondo una sezione di approfondimento nella quale cerco di illustrare la differenza fra un elenco ordinato (come sono le n-ple e le successioni) e un insieme. --..|DP|.. 07:53, 9 set 2007 (CEST)

Alcune note sparse e opinioni personali:

• L'attuale definizione ("In matematica, .... insieme A.") mi pare chiara ed esaustiva, in due righe dice tutto. Non la cambierei.
• Il confronto con la ennupla è utile, ma forse non subito nell'incipit.
• Come successione di esempio $1/2^{n}$ è poco leggibile, meglio $2^{n}$
• Questa definizione di successione definita ricorsivamente è meno chiara di quella attualmente presente

--DanGarb 08:08, 9 set 2007 (CEST)

• Gli esempi li ho cambiati e ho cercato di renderli più chiari.
• L'incipit attuale secondo me sembra chiaro ed esaustivo a chi "la sa già". Teniamo presente che nel senso comune la successione è proprio la... successione (è un concetto primitivo, o quasi!) dei suoi termini. Ad esempio se diciamo "la successione dei numeri pari" noi pensiamo a (0, 2, 4, 6, 8...), e non stiamo facendo riferimento alla funzione f(n)=2n. Di fronte ad un ipotetico "occhio di Dio" c'è un elenco infinito e ordinato di numeri pari, e non la funzione f(n)=2n. E siccome la successione dei valori di una funzione non è la funzione (data y=f(x) mai confondere y con la f!) allora dobbiamo decidere: o la successione è la funzione (ma non è quello a cui pensiamo intuitivamente, né è quello che è davanti all'"occhio di Dio"), oppure è la... successione (!) dei suoi termini. Come mai, allora, in questo caso si arriva ad identificare le due cose? Ci si arriva perché purtroppo (o per fortuna) non siamo Dio, e l'unica cosa che possiamo fare è trovare il modo di "costruire" il termine n-mo quando ci serve, ogni volta che ci serve. D'altra parte quando si cerca di scrvere il "termine generico" di una successione che cosa si fa? Si scrive una espressione che dipende da n, per cui si sta definendo una funzione che ci consente di fare proprio quella cosa.
• Un altro esempio dei limiti dell'incipit attuale è che esso attacca subito dicendo che una successione in A è una funzione da $\mathbb {N}$ ad A, dopodiché salta fuori che a volte, "quando è possibile", la successione viene rappresentata per mezzo di una "legge di formazione", che prende il nome di "funzione generatrice". Già, ma "formazione" di cosa? e "generatrice" di cosa? Se abbiamo appena detto che una successione è una funzione, allora essa è sempre rappresentata da una funzione, perché essa è la funzione stessa, e quando A è B si dice che è B, non che B è il "generatore" di A. Dicendo così noi stiamo pensando che la successione in verità è proprio la... successione dei suoi termini, cioè la successione dei valori di quella funzione, e che quella funzione non è la successione, ma è la funzione che "genera" i termini della successione.

--..|DP|.. 14:25, 9 set 2007 (CEST)

Trovo anche io come Dan Garb che la versione attuale, per quanto ovviamente perfettibile, sia più chiara di quella proposta, che non va dritta al punto. In particolare vorrei fare notare due cose:

• "elenco ordinato costituito da un numero infinito di oggetti" non basta, perché potrebbe essere un infinito non numerabile. Bisogna dire che deve essere numerabile, e cioè in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali: insomma, bisogna dire cioè che esiste una funzione f da N nell'insieme :-)
• La differenza fra "funzione" e "funzione generatrice" è importante: la maggior parte delle funzioni non hanno un carattere algoritmico, e quindi non sono descrivibili come una "legge di formazione". Forse quella frase nella versione attuale andrebbe spiegata un po' meglio, evidenziando la parola "algoritmo". Comunque il punto nodale è che una successione, pur essendo definita come funzione, può non essere descrivibile tramite algoritmo che esprima esplicitamente $a_{n}$ in funzione di $n$. Per ragioni di cardinalità, la maggior parte delle successioni non sono algoritmiche, lo sono solo "quando è possibile", proprio come è scritto. Questo fatto importante nella nuova introduzione proposta non è spiegato, e i due concetti di "funzione" e "legge" mi sembrano confusi fra loro. Una successione è una funzione, ma normalmente non è una funzione costruibile algoritmicamente.

Ylebru dimmela 09:39, 10 set 2007 (CEST)

• Bisogna stare attenti a dire "numerabile". In matematica si definisce "numerabile" un insieme che può essere messo in corripondenza biunivoca con $\mathbb {N}$, e la nostra lista prima di tutto non è un insieme, e in secondo luogo la f può non essere invertibile. Se diciamo "numerabile" bisogna farlo all'inizio, nella formulazione "intuitiva", chiarendo subito dopo cosa si intende.
• Teniamo presente che al momento nella voce successione di funzioni si parla di "insieme ordinato di funzioni", e questo secondo me proprio non si può dire.

--..|DP|.. 14:16, 10 set 2007 (CEST)

(fuori cronologia) d'accordo sul primo e d'accordissimo su questo secondo punto!! --Fioravante Patrone 14:29, 10 set 2007 (CEST)

• Stiamo sbagliando anche ad usare "funzione generatrice", perché la funzione generatrice di una successione numerica è una funzione di $x\in \mathbb {R}$ il cui sviluppo in serie di potenze ha la successione numerica come successione dei coefficienti.

--..|DP|.. 14:30, 10 set 2007 (CEST)

modesta proposta notazionale. Io userei (io uso, in effetti, abitualmente) $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Che corrisponde tra l'altro benissimo al significato del termine successione. E, va da sé, non genera alcun rischio di confusione con l'insieme dei termini della successione. Il quale è, propriamente: $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ e quindi uno ha anche ragione a confondersi! --Fioravante Patrone 12:27, 10 set 2007 (CEST)

Come giustamente mi faceva notare qualcun altro giorni fa, non possiamo usare una notazione non standard in un articolo di enciclopedia, trascurando quella standard. Nella mia proposta io spiego che si dovrebbero usare le parentesi tonde, ma poi faccio gli esempi con le parentesi graffe, perché è così che si trovano per lo più in letteratura. --..|DP|.. 14:16, 10 set 2007 (CEST)

argomento rilevante. Se però si riuscisse ad evitare l'uso delle graffe sarebbe bello, e forse è possibile senza troppe forzature. Magari potrebbe anche essere osservato che c'è questa notazione diffusa (io mi sono studiato l'analisi sul Cecconi-Stampacchia che usa le graffe!) --Fioravante Patrone 14:29, 10 set 2007 (CEST)

Ho riscritto tutto evitando "numerabile" e anche "funzione generatrice". --..|DP|.. 14:50, 10 set 2007 (CEST)

L'introduzione di ogni voce dovrebbe essere scritta come un abstract: stringata, concisa, di lunghezza limitata: il testo che proponi è lungo il doppio di quello che c'è ora. Aggiungo anche, a proposito della facilità di comprensione dell'argomento, che per uno studente è assai naturale pensare ad una lista come "ordinata": il concetto difficile da digerire semmai è quello di insieme, che ordinato non è. Per questo motivo molti libri di testo usano le graffe invece che le tonde, perché tanto lo studente non è così perverso da pensare che una lista non sia ordinata. Quindi non capisco molto l'utilità di spendere tante parole per tentare di semplificare qualcosa che invece viene normalmente recepito senza grossi problemi; qui mi riferisco anche alla sezione successione (matematica)#Problemi teorici e filosofici, che è anch'essa eccessivamente lunga, e contiene passi, divagazioni e a volte ripetizioni che non sono proprio adatti ad una enciclopedia. Spiegare il senso è un'ottima cosa, ma lo si deve fare in poche righe e andando diritti al punto. Ylebru dimmela 16:11, 10 set 2007 (CEST)

Ho cambiato l'impostazione per recepire queste osservazioni. Quanto alla lunghezza delle altre sezioni, potrebbe essere ridotta qualora la parte iniziale della voce dicesse chiaramente certe cose che mi sembrano essenziali. --..|DP|.. 19:01, 10 set 2007 (CEST)

Uniformità di notazione

Credo sia importante citare sia la notazione con le parentesi tonde, sia quella con le graffe, ma sceglierne una ed usare quella in modo coerente in tutta la voce. Io sono per le parentesi tonde, ma credo dipenda dall'abitudine. --eflags 18:51, 1 feb 2008 (CET)

Mi unisco a eflags a favore delle parentesi tonde per le successioni. Non è questione di gusti: le parentesi graffe sono riservate agli insiemi!--Stefano80 06:44, 7 feb 2008 (CET)

Io preferirei le angolate, in quanto le tonde sono usate per altri due diversi scopi, per delimitare sottoespressioni e per delimitare argomenti di funzioni. Ma le tonde (usate spesso perché, credo, facili da tracciare a mano) si possono sopportare. Almit39 (msg) 02:49, 18 giu 2009 (CEST)