Discussione:Sigma additività

Non equivalenza tra additività e sigma-additività

Apro questa discussione in risposta alle modifiche effettuate da [@ Germanomosconi1]. Cercherò di chiarire meglio il punto.

1) La proprietà di additività e quella di sigma-additività NON sono equivalenti, un semplice controesempio si può trovare qui: https://math.stackexchange.com/questions/929528/additive-but-not-sigma-additive-function.

2) Dato che le due proprietà non sono equivalenti, qualunque dimostrazione (presunta) che dimostri che invece sono equivalenti è sbagliata.

3) Nel caso specifico di quella che ha riportato l'utente, un errore si ha nel passaggio che qui riporto:

>inizio

Ovvero, sapendo che, per ogni $S\subseteq X$ di eventi disgiunti, con $S=\{B_{1},B_{2},\dots {}\}$:

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{|S|}B_{n}\right)\neq \sum _{n=1}^{|S|}\mu (B_{n})$

ne deduciamo immediatamente che ciò deve valere anche per le unioni finite, ovvero, per ogni $S\subseteq X$ di eventi disgiunti tale che $(|S|=n)\in \mathbb {N}$:

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}\right)\neq \sum _{i=1}^{n}\mu (B_{i})$

>fine

L'errore principale sta nel fatto che non è corretto affermare che se la disuguaglianza si ha per $S$ infinito numerabile allora si ha anche per $S$ finito. Questo è falso e un semplice controesempio che lo dimostra si può trovare nel link già indicato sopra (https://math.stackexchange.com/questions/929528/additive-but-not-sigma-additive-function), infatti in questo esempio si ha che per ogni $S$ infinito numerabile non vale l'uguaglianza (la somma delle misure fa 0 ma la misura dell'unione fa infinito), ma per ogni $S$ finito vale l'uguaglianza (sia la somma delle misure che la misura dell'unione fanno 0).

Spero di essermi spiegato meglio.--Mat4free (msg) 14:55, 8 nov 2019 (CET)

Il controesempio che tu porti non è valido, perché l'infinito non può essere un valore di una funzione, quella definizione di funzione non è valida. La dimostrazione è corretta. --Germanomosconi1 (msg) 15:23, 8 nov 2019 (CET)

Mi sembra che tu non leggi nemmeno la voce che stai modificando, oltre a non conoscere molto bene la teoria della misura. Non solo "infinito" può essere un valore di una funzione (dipende solo quale è l'insieme codominio), ma nella teoria della misura nello specifico si considerano solitamente proprio funzioni che possono valere "infinito", come si può leggere facilmente nella prima riga qui: Sigma_additività#Definizioni.

Sei pregato di non modificare la voce ulteriormente con queste modifiche finché non si sarà chiarita qui nella pagina di discussione la questione, altrimenti provvederò a fare una segnalazione formale.--Mat4free (msg) 15:29, 8 nov 2019 (CET)

"Infinito" non significa niente. Devi specificare cosa intendi per "infinito", dato che esistono diverse classi di infiniti diverse. Inoltre, in una funzione "infinito" potrebbe significare semplicemente che la funzione diverge, e se la funzione diverge, allora non ha senso parlare del valore che assume, dato che nel punto in cui diverge non è definita. --Germanomosconi1 (msg) 15:35, 8 nov 2019 (CET)

Ci sono diversi concetti di "infinito" in matematica. Credo la cosa più semplice sia che dai un'occhiata a queta voce infinito (matematica), ma provo a fare una rapida sintesi.

Ci sono gli "ordini di infinito", di cui si parla spesso nel caso di limiti (a cui afferisce anche il concetto di "essere divergente"). Ci sono cardinali e ordinali infiniti, di cui si tratta (solitamente) in logica. C'è l'elemento che compattifica lo spazio affine rendendolo proiettivo (vedi ad esempio anche sfera di Riemann). C'è la retta reale estesa (che è in parte il caso che ci interessa qui) in cui si aggiungono al campo ordinato dei numeri reali due elementi con specifiche proprietà rispetto all'ordine totale di campo ordinato sui reali e rispetto alle operazioni di campo dei reali (cioè somma e prodotto). Nel caso della teoria della misura solitamente è utile considerare funzioni che hanno come codominio il sottoinsieme della retta reale estesa dato dall'intervallo $[0,+\infty ]$ (entrambi gli estremi inclusi), ammettendo quindi che una funzione di misura assuma come valore $+\infty$ (nel senso appena indicato). Questo permette di sviluppare una teoria della misura e dell'integrazione particolarmente utile per vari scopi (se sei interessato puoi dare un'occhiata qui: https://terrytao.files.wordpress.com/2012/12/gsm-126-tao5-measure-book.pdf sono note di Terence Tao sulla teoria della misura, forse lui, che è Medaglia Fields del 2006, ti convincerà più di me).

Ultima piccola specifica. Una funzione non "diverge" in un punto, ma casomai il limite di una funzione per l'argomento che tende a un punto diverge (cioè è il limite che diverge non la funzione a voler essere precisi, la funzione potrebbe non essere definita o sì a prescindere da ciò che fa il limite, es: $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ con $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$ se $x\neq 0$ e $f(x)=0$ se $x=0$ è una funzione definita su tutto $\mathbb {R}$ e che vale 0 in 0 ma il cui limite in 0 diverge (positivamente)).

Spero di essermi spiegato meglio. :) --Mat4free (msg) 15:58, 8 nov 2019 (CET)

La questione è semplice: il passaggio della dimostrazione che hai riportato può essere dimostrato solo per induzione transfinita, per cui, l'unico modo di dimostrare la proprietà è accettare il principio d'induzione transfinita. Altrimenti, servendosi solo del principio d'induzione, non si può dimostrare. --Germanomosconi1 (msg) 16:27, 8 nov 2019 (CET)

Forse non mi sono spiegato abbastanza bene. Non c'entra nulla l'induzione classica o transfinita o in qualunque altra forma o nome su qualunque insieme ben-fondato (cioè con relazione irriflessiva e senza catene discendenti infinite) tu la voglia considerare. Il punto (e "la questione è semplice") è che stai cercando di dimostrare una cosa falsa! Quindi non ci sarà nessun metodo che funzionerà! Salvo, ovviamente che tu non aggiunga ulteriori ipotesi. Ci sono ipotesi che garantiscono effettivamente l'equivalenza, vedi ad esempio qui: https://math.stackexchange.com/questions/853566/given-continuity-of-measure-prove-countable-additivity-to-prove-measure

Ma in generale l'equivalenza non è valida, come il controesempio del link che ti ho scritto sopra dimostra (che forse dovresti leggere con più attenzione e rifletterci meglio su). Forse potrebbe interessarti leggere questo dibattito storico tra le due proprietà di additività e sigma-additività (che non avrebbe motivo di esistere se fossero, come tu cerchi di sostenere, equivalenti): http://wwwf.imperial.ac.uk/~bin06/Papers/favcarev.pdf

Tornando alla questione dell'induzione, non mi pare proprio sia necessaria un'induzione che vada sull'insieme dei numeri ordinali come quella transfinita, visto che si considerano successioni e quindi quantità numerabili di insiemi (e non ordinali più grandi, quindi non c'è bisogno di "scavallare ordinale" diciamo e cioè non serve il passo transfinito del limite ordinale). Ma in ogni caso l'errore principale della dimostrazione, come ho scritto sopra (rileggi con più attenzione), sta nel concludere che se la disuguaglianza si ha per $S$ infinito numerabile allora si ha anche per $S$ finito. Questa, infatti (oltre al controesepio precedente che dimostra che è falso, e ciò dovrebbe bastare!), non è altro che la contronominale (vedi anche qui volendo: http://www.treccani.it/vocabolario/contronominale/) di dire che "se l'uguaglianza si ha per $S$ finito allora si ha anche per $S$ infinito numerabile", che è falso ed è oltretutto esattamente quello che vorresti dimostrare che qui stai usando come cosa nota. E non ha nulla a che vedere con il principio di induzione in nessuna forma.

Per farti un esempio analogo sarebbe come dire che "se la somma di una quantità finita di numeri è finita allora (per induzione transfinita(?)) anche la somma di una quantità infinita di numeri è finita" e questo ovviamente non è vero! Ma è più o meno quello che tu stai argomentando. --Mat4free (msg) 19:03, 8 nov 2019 (CET)

Pardon, errore mio. --Germanomosconi1 (msg) 13:01, 9 nov 2019 (CET)