Costante Omega

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Costante Omega
Simbolo Ω
Valore 0,5671432904097838729999686622...
(sequenza A030178 dell'OEIS)
Frazione continua [0; 1, 1, 3, 4, 2, 10, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 7, ...]
(sequenza A019474 dell'OEIS)
Insieme numeri trascendenti
Costanti correlate e

La costante Omega è una costante matematica definita da

e la cui espansione decimale inizia con

È il valore di W(1), dove W è la funzione W di Lambert o funzione omega (da cui il nome della costante).

Ovviamente Ω può essere anche definito come la soluzione di

o anche di

La costante può essere calcolata attraverso un metodo iterativo: partendo da una stima iniziale e considerando la successione

che avrà limite quando . La convergenza di questa iterazione avviene poiché è un punto fisso attrattivo della funzione .

Ad ogni modo è molto più efficiente utilizzare l'iterazione

poiché la funzione

ha il medesimo punto fisso ma ha derivata nulla nel suddetto punto, e quindi la convergenza è quadratica (il numero di cifre corrette raddoppia approssimativamente ad ogni iterazione).

Un'identità tramite integrale improprio dovuta a Victor Adamchik è la seguente:

Irrazionalità e trascendenza[modifica | modifica wikitesto]

La costante è un numero trascendente.

Per dimostrare la sua irrazionalità è possibile servirsi del fatto che e è trascendente: se (con p e q interi), allora

cioè

e quindi e sarebbe algebrico, il che è assurdo.

La trascendenza di è una conseguenza del teorema di Lindemann-Weierstrass: se fosse algebrico, lo sarebbe anche , e quindi il numero sarebbe trascendente, così come , il che è assurdo perché questa quantità è uguale a 1. Quindi è trascendente.

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