Autodecomposizione

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In algebra lineare, l'autodecomposizione è la fattorizzazione di una matrice in una forma canonica, per cui la matrice è rappresentata in funzione dei suoi autovalori e autovettori . Solo le matrici diagonalizzabili possono essere fattorizzate in questo modo. Quando la matrice da fattorizzare è una matrice normale o reale simmetrica, l'autodecomposizione è detta "decomposizione spettrale", (riferimento al teorema spettrale).

Autodecomposizione di una matrice[modifica | modifica wikitesto]

Sia A una matrice quadrata n × n con n autovettori linearmente indipendenti (dove i = 1, ..., n ). Allora A può essere fattorizzata come

dove Q è la matrice n × n la cui i-esima colonna è l'autovettore qi di A, e Λ è la matrice diagonale i cui elementi diagonali sono i corrispondenti autovalori, Λii = λ i . Si noti che solo le matrici diagonalizzabili possono essere fattorizzate in questo modo. Ad esempio, la matrice difettosa (che è una matrice di taglio ) non può essere diagonalizzata.

Gli n autovettori qi sono generalmente normalizzati, ma non è necessario che lo siano. Un insieme non normalizzato di n autovettori, vi può anche essere usato come colonne di Q . Ciò può essere compreso osservando che la grandezza degli autovettori in Q viene annullata nella scomposizione dalla presenza di Q −1 .

La scomposizione può essere derivata dalla proprietà fondamentale degli autovettori:

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

La matrice reale 2 × 2 A

può essere scomposto in una matrice diagonale attraverso la moltiplicazione di una matrice non singolare B

Quindi

per qualche matrice diagonale reale .

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione a sinistra per B :

L'equazione di cui sopra può essere scomposta in due equazioni simultanee :

Scomponendo gli autovalori x e y :

lasciando

questo ci dà due equazioni vettoriali:

E può essere rappresentato da una singola equazione vettoriale che coinvolge due soluzioni come autovalori:

dove λ rappresenta i due autovalori x e y, e u rappresenta i vettori a e b .

Spostando λ u per il lato sinistro e factoring u fuori

Poiché B è non singolare, è essenziale che u sia diverso da zero. Perciò,

così

dandoci le soluzioni degli autovalori per la matrice A come λ = 1 o λ = 3, e la matrice diagonale risultante dall'autodecomposizione di A è quindi .

Rimettendo le soluzioni nelle equazioni simultanee di cui sopra

Risolvendo le equazioni, abbiamo

Quindi la matrice B richiesta per l'autodecomposizione di A è

cioè: