Sistema di coordinate terrestri

Un sistema di coordinate terrestri è un insieme di parametri identificati tramite una terna di funzioni di punti sufficientemente regolari X_i(P) (i=1,2,3), grazie alla quale si collocano in maniera univoca gli oggetti sulla superficie terrestre. La posizione degli oggetti viene espressa mediante un sistema di coordinate riferite ad un opportuno sistema geodetico di riferimento (Datum). I sistemi di coordinate sono molti e sono tra loro equivalenti, è possibile passare da uno all’altro mediante l'utilizzo di opportune formule matematiche. Ogni sistema di coordinate può essere materializzato solo se si eseguono misurazioni che leghino fisicamente gli elementi caratteristici del sistema di coordinate con i punti oggetto di rilievo.

Coordinate cartesiane

Un sistema di coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane permettono di individuare la posizione dei punti nello spazio attraverso quello che viene detto sistema di coordinate cartesiane. Tale sistema di riferimento viene stabilito mediante l'assunzione di tre assi fissati, detti assi cartesiani, indicati dalle lettere X, Y, e Z. Le caratteristiche dei tre assi consistono nell'essere ortogonali tra di loro e nell'incontrarsi in un solo punto, definito origine degli assi e solitamente indicato con O. I tre assi identificano tre differenti piani all'interno dello spazio, i piani xy, xz e yz, identificabili in figura rispettivamente dal piano orizzontale, dal piano verticale e sinistra dell'asse Z e dal piano verticale a destra dell'asse Z. Ciascun punto è identificato attraverso la distanza che lo divide da ognuno dei tre assi, mediante l'utilizzo di tre coordinate (x,y,z), una per asse. Una caratteristica fondamentale del sistema di coordinate cartesiane è la possibilità di poter proiettare tutti i punti dello spazio lungo determinati piani, in modo da riuscire a rappresentare elementi e superfici tridimensionali su di un piano. Tali proiezioni prendono il nome di proiezioni ortogonali e le superfici su cui vengono fatte sono preferibilmente quelle dei tre assi cartesiani. Le proiezioni ortogonali, caratteristica unica all'interno dei sistemi di riferimento, rendono quello delle coordinate cartesiane un sistema puramente geometrico, regolare in tutto lo spazio e privo di singolarità, senza alcuna eccezione.

Coordinate sferiche

I tre parametri delle coordinate sferiche (ρ,θ,ϕ).

Le coordinate sferiche (o polari) sono un sistema di coordinate che permette di esprimere la posizione di un punto nello spazio in alternativa alle coordinate cartesiane, e in molti casi (integrali tripli, studio di funzioni) semplificano i conti. Vengono determinate da tre parametri (ρ,θ,ϕ). La relazione tra le coordinate sferiche (ρ,θ,ϕ) e quelle cartesiane (x,y,z) è dettata dalle seguenti equazioni:

$x=\rho \sin \theta \ \cos \varphi$

$y=\rho \sin \theta \ \sin \varphi$

$z=\rho \cos \theta$

Le condizioni che regolano i tre parametri sono ρ∈[0,+∞) θ∈[0,π] ϕ∈[0,2π).

Questo sistema di coordinate, chiamato sistema di coordinate sferiche, è simile al sistema della latitudine e longitudine utilizzato per la Terra, con la latitudine δ che è il complementare di theta , se z è l'asse di rotazione terrestre, determinato dalla relazione δ = 90° − θ, e la longitudine est l = φ (se φ compreso fra 0° e 180°) ovvero la longitudine ovest l = - φ (se φ compreso fra -180° e 0°), se il semipiano xz con x>0 contiene il meridiano di Greenwich.

Coordinate ellissoidiche

Le coordinate ellissoidiche si basano sullo stesso principio delle coordinate sferiche ma usano un ellissoide invece che una sfera come sistema di riferimento. Fissato un ellissoide di rotazione, un punto sull'equatore, se riesco a rappresentare la normale all'ellissoide passante per il punto allora definisco le coordinate ellissoidiche del punto P(Φ,Λ,H).

Coordinate intrinseche

Il sistema di coordinate intrinseche è completamente determinato dal campo gravitazionale terrestre, per questo è particolarmente indicato per descrivere le grandezze che dipendono direttamente dalla gravità. La terna (Φ_p,Λ_p,C_p) è costituita da tre funzioni di punti che garantiscono in maniera univoca la definizione della posizione dell'oggetto. I primi due termini sono quelli riferiti alla planimetria e vengono descritti tramite le coordinate astrogeodetiche o geografiche, il terzo è quello altimetrico. L’ altimetria può essere definita con metodi differenti:

• usare il valore del potenziale gravitazionale terrestre W_p (diminuisce allontanandosi dalla superficie della Terra).
• usare la quota geopotenziale C

C= \frac{W₀-W_p}{1000} dove W₀-W_p=\int_{o}^{p} gdn (detto numero geopotenziale) per determinare W₀ si deve scegliere tra le infinite superfici equipotenziali una di riferimento G attraverso cui poi si determina il numero geopotenziale. Considerando il fattore 1000 come una costante dimensionale in [Gal], C espressa in [m].

• quota ortometrica

H=arco(P₀P) misurato lungo la verticale (direzione del filo a piombo) fino alla superficie del geoide.

Coordinate astrogeodetiche

Le coordinate astrogeodetiche vengono calcolate rispetto ad un sistema di riferimento fisso che assume come assi l'equatore celeste e l'asse di rotazione terreste (inclinato di 23° 27' rispetto al piano dell'eclittica). Inizialmente si utilizzano come coordinate la declinazione (delta) e l'ascensione retta (alpha), le quali individuano univocamente la posizioni degli astri nella sfera celeste rispetto ad un punto d'origine fisso: primo punto d'Ariete, determinato dall'intersezione tra l'eclittica e l'equatore celeste (cerchio massimo). Tali coordinate risultano essere indipendenti dal moto di rotazione della Terra dato che risultano essere fissate alla volta celeste. La conoscenza della posizioni degli astri permette di individuare lo zenith, ovvero la verticale sulla sfera celeste. Considerando il movimento rotatorio della Terra, attorno all'asse di rotazione istantaneo,fisso rispetto alla sfera celeste, con velocità angolare istantanea (supposta costante) concludiamo che lo zenith di un punto gira in modo solidale alla Terra. Attraverso osservazioni alle stelle e misure di tempo è possibile definire le coordinate planimetriche intrinseche (ovvero dipendenti unicamente dalla gravità terrestre) del punto di osservazione attraverso gli angoli ʌ(P),ɸ(P). Questi angoli vengono definiti secondo il seno e il coseno delle trasposizioni operate sul piano della perpendicolare alla superficie di riferimento nel punto di osservazione n(P),l'asse di rotazione terrestre e(R), e la perpendicolare al meridiano fondamentale di Greenwich. Le formule che definiscono la latitudine e longitudine intrinseche sono:

• sin(ɸ(P))=er·n(P)
• Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \frac{er·nGR}{cos(ɸ(GR)}}

Nel calcolo delle coordinate astrogeodetiche vengono fatte determinate ipotesi, poi modificate da specifici coefficienti correttivi:

• L'asse d'istantanea rotazione terrestre viene preso fisso, non si considerano quindi i moti di precessione e nutazione (dovuto all'attrazione luni-solare) e le influenze dovute al moto di altri pianeti.
• La velocità angolare, supposta costante, in realtà varia con oscillazioni dovute al momento angolare dell'atmosfera e degli oceani.
• La materiaizzazione dell'asse d'istantanea rotazione non è costante, ma risente del Chandler Wobble, costituita da una componente giroscopica, dovuta all'interazione nucleo liquido e mantello elastico e altre interazioni dovute ai moti convettivi della Terra.
• Il vettore n di ʌ,ɸ risulta variabile nel tempo in seguito all'azione diretta di attrazione luni-solare e all'effetto indiretto delle maree terrestri con periodi di circa 2 cicli al giorno. Variazioni che possono essere corrette mediando misure per periodi di tempo più lunghi.

Coordinate geografiche

Il sistema di coordinate geografiche consente di individuare in maniera precisa e biunivoca ogni punto della superficie terrestre,la sua corrispondente rappresentazione sulla carta e viceversa. Esso è individuato dalla latitudine,dalla longitudine e dall'altitudine:la latitudine si definisce come il valore angolare dell'arco di meridiano compreso fra il punto e l'equatore,la longitudine è il valore angolare dell'arco di parallelo compreso fra quel punto e un meridiano di riferimento,infine l'altitudine o quota è definita rispetto ad un livello di riferimento,quello medio del mare,nei cui confronti può assumere valori positivi e negativi.

Trasformazioni di coordinate

È possibile operare la trasformazione da coordinate geografiche a cartesiane con le seguenti formule:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle X=\(N+h)×\cosϕ×\cosλ}

Y=(N+h)×cosϕ×senλ

Z=[N(1-e²)+h]×senϕ

dove N= a/√(1-e²sen²ϕ) (N raggio di curvatura detta Grannormale) e h è la quota ortometrica

e da coordinate cartesiane a geografiche:

λ= arctan (Y/X)

Voci correlate

• Coordinate curvilinee
• Coordinate ellittiche
• Coordinate paraboliche
• Coordinate parabolico cilindriche
• Coordinate celesti
• Coordinate chilometriche
• Coordinate generalizzate
• Sistema di riferimento inerziale

Bibliografia

sistemi di coordinate, su geomatica.como.polimi.it. URL consultato il 18 Novembre 2016. {{cita libro|titolo=Geocartografia, Guida alla lettura delle carte geotopografiche|autori=Elvio Lavagna, Guido Lucarno}}

Collegamenti esterni

sito ufficiale Politecnico, su polo-lecco.polimi.it. URL consultato il 4 ottobre 2016.