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In matematica, la trasformata inversa di Laplace, o antitrasformata di Laplace, è l'inversa della trasformata di Laplace F(s): è la funzione f(t) definita da
dove è la trasformata di Laplace.
Si prova che se una funzione ha la trasformata inversa , ovvero è una funzione continua a tratti che soddisfa la condizione
allora è univocamente determinata.
La trasformata di Laplace e la sua inversa hanno importanti applicazioni nello studio dei sistemi dinamici lineari.
Forma integrale
[modifica | modifica wikitesto]Una formulazione integrale dell'antitrasformata di Laplace, chiamata anche "integrale di Bromwich" o "formula inversa di Mellin", è data dall'integrale di linea:
dove l'integrazione avviene lungo la linea verticale nel piano complesso, sicché è tanto grande quanto la parte reale di tutte le singolarità di F(s). Questo assicura che la linea di contorno è la regione di convergenza. Se tutte le singolarità sono della parte sinistra del piano complesso allora può essere considerata nulla e la formula diventa uguale alla trasformata di Fourier inversa.
Antitrasformazione di funzioni razionali fratte
[modifica | modifica wikitesto]Sebbene la formula di Mellin sia molto importante da un punto di vista teorico in quanto assicura che ci sia la biunivocità tra una funzione e la sua trasformata, essa risulta poco pratica da usare in molte circostanze.
Nel caso delle funzioni razionali fratte, che peraltro rivestono un ruolo importante nello studio dei sistemi dinamici, è possibile determinare l'antitrasformata in maniera algoritmica, ricorrendo alla scomposizione in fratti semplici. L'obbiettivo di questo metodo è quello di ricondurre una funzione razionale fratta più o meno complessa, della quale non si conosce l'antitrasformata, nella somma di più funzioni razionali semplici, delle quali si conoscono le antitrasformate, e sfruttare quindi la proprietà di linearità.
Per illustrare il metodo si consideri una funzione razionale fratta nella forma:
Si assuma anzitutto che sia (funzione strettamente propria). In caso contrario è possibile sfruttare l'algoritmo di euclide per ricondursi al caso in esame. In tal caso si otterrebbe una funzione del tipo:
dove P(s) è un polinomio di grado m-n ed è quindi facilmente antitrasformabile come somma di impulsi di ordine via via crescente.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) B. J. Davies, Integral transforms and their applications, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95314-4.
- (EN) A. V. Manzhirov, Handbook of integral equations, Londra, CRC Press, 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3.
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- Rational inversion of the Laplace Transform