Utente:Luca280703/sandbox

Definizioni limiti

Definizione generale

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)={\mathcal {l}}\Leftrightarrow \forall I\in {\mathcal {F}}({\mathcal {l}})\,\exists \,J\in {\mathcal {F}}({\mathit {x_{0}}}):\forall x\in J-\left\{x_{0}\right\},f(x)\in I$

x₀ finito, l finito

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)={\mathcal {l}}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\,\exists \,J_{\varepsilon }\in {\mathcal {F}}({\mathit {x_{0}}}):\forall x\in J_{\varepsilon }-\left\{x_{0}\right\},|f(x)-{\mathcal {l}}|<\varepsilon$

Intorno destro

$\lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)={\mathcal {l}}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\,\exists \,J_{\varepsilon }^{+}\in {\mathcal {F}}({\mathit {x_{0}}}):\forall x\in J_{\varepsilon }^{+},|f(x)-{\mathcal {l}}|<\varepsilon$

Intorno sinistro

$\lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)={\mathcal {l}}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\,\exists \,J_{\varepsilon }^{-}\in {\mathcal {F}}({\mathit {x_{0}}}):\forall x\in J_{\varepsilon }^{-},|f(x)-{\mathcal {l}}|<\varepsilon$

x₀ infinito, l finito

$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)={\mathcal {l}}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\,\exists \,J_{\varepsilon }\in {\mathcal {F}}(\infty ):\forall x\in J_{\varepsilon },|f(x)-{\mathcal {l}}|<\varepsilon$

x₀ finito, l infinito

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall M>0\,\exists \,J\in {\mathcal {F}}({\mathit {x_{0}}}):\forall x\in J-\left\{x_{0}\right\},|f(x)|>M$

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty \ \Leftrightarrow \forall M>0\,\exists \,J\in {\mathcal {F}}({\mathit {x_{0}}}):\forall x\in J-\left\{x_{0}\right\},f(x)>M$

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=-\infty \ \Leftrightarrow \forall M>0\,\exists \,J\in {\mathcal {F}}({\mathit {x_{0}}}):\forall x\in J-\left\{x_{0}\right\},f(x)<-M$

x₀ infinito, l infinito

$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall M>0\,\exists \,J\in {\mathcal {F}}(\infty ):\forall x\in J,|f(x)|>M$

Forme indeterminate

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}[+\infty -\infty ]=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{x_{MAX}\left({\frac {f(x)}{x_{MAX}}}\right)}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{x_{MAX}}$

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\left[{\frac {\infty }{\infty }}\right]}\Rightarrow \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {x_{MAX1}\left({\frac {f(x)}{x_{MAX1}}}\right)}{x_{MAX2}\left({\frac {g(x)}{x_{MAX2}}}\right)}}=\lim {\frac {k_{1}\cdot x_{MAX1}}{k_{2}\cdot x_{MAX2}}}\Rightarrow {\begin{cases}Se\,x_{MAX1}>x_{MAX2}\Rightarrow \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\infty \\Se\,x_{MAX1}<x_{MAX2}\Rightarrow \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0\\Se\,x_{MAX1}=x_{MAX2}\Rightarrow \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}\end{cases}}$

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\left[{\frac {0}{0}}\right]}\Rightarrow \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {\frac {f(x)}{x-x_{0}}}{\frac {g(x)}{x-x_{0}}}}\,(Scomposizione)$

Asintoti obliqui

$y=mx+q$

$m=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {f(x)}{x}}$

$q=\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)-mx$

Limiti Notevoli

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin {x}}{x}}=1$

$\lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$

$\lim _{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}\Longrightarrow Se\,{\frac {1}{x}}=t\Rightarrow \lim _{t\rightarrow +\infty }\left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{t}=e$

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\tan {x}}{x}}=\lim _{x\rightarrow 0}\left({\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}\cdot {\frac {1}{x}}\right)=\lim _{x\rightarrow 0}\left({\frac {\sin {x}}{x}}\cdot {\frac {1}{\cos {x}}}\right)=\lim _{x\rightarrow 0}\left({\frac {\sin {x}}{x}}\right)\cdot \lim _{x\rightarrow 0}\left({\frac {1}{\cos {x}}}\right)=1$

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\lim _{x\rightarrow 0}\left({\frac {1}{x}}\log _{a}(1+x)\right)=\lim _{x\rightarrow 0}\left(\log _{a}(1+x)\right)^{\frac {1}{x}}=\log _{a}\left\{\lim _{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}\right\}=\log _{a}{e}$

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=\ln {e}=1$

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {a^{x}-1}{x}},t=a^{x}-1\Rightarrow \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{\log _{a}(t+1)}}={\frac {1}{\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {\log _{a}(t+1)}{t}}}}={\frac {1}{\log _{a}{e}}}={\frac {1}{\frac {\ln {e}}{\ln {a}}}}=\ln {a}$

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=\ln {e}=1$

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos {x}}{x}}=0$

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos {x}}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$

Derivate

$f(x)=k\Rightarrow f'(x)=0$

$f(x)=x\Rightarrow f'(x)=1$

$f(x)=\sin {x}\Rightarrow f'(x)=\cos {x}$

$f(x)=\cos {x}\Rightarrow f'(x)=-\sin {x}$

$f(x)=\tan {x}\Rightarrow f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}$

$f(x)=\cot {x}\Rightarrow f'(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}$

$f(x)=x^{n}\Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$

$f(x)=a^{x}\Rightarrow f'(x)=a^{x}\ln {a}$

$f(x)=e^{x}\Rightarrow f'(x)=e^{x}$

$f(x)=\log _{a}{x}\Rightarrow f'(x)={\frac {1}{x\ln {a}}}$

$f(x)=\ln {x}\Rightarrow f'(x)={\frac {1}{x\ln {e}}}={\frac {1}{x}}$

$f(x)=\arcsin {x}\Rightarrow f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$f(x)=\arccos(x)\Rightarrow f'(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$f(x)=\arctan(x)\Rightarrow f'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

$f(x)=\operatorname {arccot}(x)\Rightarrow f'(x)=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

$f(x)={\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}\Rightarrow f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

$f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}\Rightarrow f'(x)=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}$

$f(x)=ax^{n}\Rightarrow f'(x)=anx^{n-1}$

${\frac {d}{dx}}[f(x)\cdot g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}$

${\frac {d}{dx}}\left[f(g(x))\right]=f'(g(x))\cdot g'(x)$

${\frac {d}{dx}}[f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)]=f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot g'(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot g(x)\cdot h'(x)$

Integrali

Definizione

$\int f(x)dx=F(x)+c\Leftrightarrow F'(x)=f(x)$

Fisica

Legge di Coulomb

${\vec {F}}=k_{0}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}{\hat {r}}$

$Costante\,di\,proporzionalit{\grave {a}}=k_{0}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=8.988\cdot 10^{9}{\frac {N\cdot m^{2}}{C^{2}}}$

$Costante\,dielettrica\,nel\,vuoto=\varepsilon _{0}=8.854\cdot 10^{-12}{\frac {C^{2}}{N\cdot m^{2}}}$

Campo elettrico

${\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{q}}$

Campo elettrico generato da una carica puntiforme

${\vec {E}}=k_{0}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {r}}$

Flusso del campo elettrico attraverso una superficie

$\Phi _{\vec {S}}\left({\vec {E}}\right)={\vec {E}}\cdot {\vec {S}}=E\cdot S\cdot \cos {\alpha }$

$\Omega =Superficie\,chiusa$

$\Phi _{\Omega }\left({\vec {E}}\right)={\frac {Q_{tot}}{\varepsilon }}$

Densità superficiale di carica

$\sigma ={\frac {\Delta Q}{\Delta S}}$

Campo elettrico generato da un piano infinito di carica

$E={\frac {|\sigma |}{2\varepsilon }}$

Densità lineare di carica

$\lambda ={\frac {\Delta Q}{\Delta l}}$

Campo elettrico generato da un filo infinitamente carico

$E={\frac {|\lambda |}{2\pi \varepsilon _{0}r}}$

Campo elettrico generato da una sfera carica

$Se\,r\leq R\Rightarrow E={\frac {|Q|}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}r$

$Se\,r\geq R\Rightarrow E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {|Q|}{r^{2}}}$

Potenziale elettrico

Energia potenziale elettrica

$U=W_{A\rightarrow R}={\frac {k_{0}}{\varepsilon _{r}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r}}=qEr$

Potenziale elettrico

$V={\frac {U}{q}}={\frac {k_{0}}{\varepsilon _{r}}}{\frac {Q}{r}}=Er$

Differenza di potenziale

$\Delta V=V_{B}-V_{A}={\frac {\Delta U}{q}}=-{\frac {W_{A\rightarrow B}}{q}}$

Circuitazione

$\Gamma _{\mathcal {L}}({\vec {E}})=\sum _{i=1}^{n}{{\vec {E}}\cdot \Delta {\vec {l_{i}}}}=\sum _{i=1}^{n}(-\Delta V_{i})$

Circuito elettrico

I Legge di Ohm

$i={\frac {\Delta V}{R}}$

II Legge di Ohm

$R=\rho {\frac {\mathit {l}}{A}}$

Resistività

$\rho =\rho _{293}(1+\alpha \Delta T)$

Resistori in serie

$R_{eq}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}$

Resistori in parallelo

${\frac {1}{R}}_{eq}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{R_{i}}}$

Legge dei nodi

$\sum i_{in}=\sum i_{out}$

Legge delle maglie

$\sum _{\forall \Delta V\in }^{Maglia}\Delta V=0$

Potenza dissipata

$P=i^{2}R={\frac {\Delta V^{2}}{R}}=i\Delta V$

Forza elettromotrice

$f_{em}={\frac {W_{g}}{q}}$

$i={\frac {f_{em}}{R+r}}$

$\Delta V={\frac {R}{R+r}}f_{em}$

Campo magnetico

Legge di Ampère

Forza magnetica tra due fili paralleli nel vuoto di eguale lunghezza l, distanti d:

$F={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {i_{1}i_{2}}{d}}l$

$\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}{\frac {N}{A^{2}}}$

Definizione di Ampère

${\begin{cases}i_{1}=i_{2}=1A\\d=1m\\l=1m\\F=2\cdot 10^{-7}N\end{cases}}$

Intensità del campo magnetico

Filo perpendicolare al campo

$B={\frac {F}{il}}$

Filo non perpendicolare al campo

${\vec {F}}=i{\vec {l}}\times {\vec {B}}\Rightarrow F=ilB\operatorname {sen} {\alpha }$

Legge di Biot-Savart (Campo magnetico generato da un filo)

$B={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {i}{d}}$

Campo magnetico di una spira circolare

Punto sull'asse

$B={\frac {\mu _{0}iR^{2}}{2{\sqrt {(R^{2}+y^{2})^{3}}}}}$

Centro della spira

$B={\frac {\mu _{0}}{2}}{\frac {i}{R}}$

Campo magnetico all'interno di un solenoide

$B=\mu _{0}{\frac {N}{l}}i$

Momento delle forze di un motore elettrico

Spira chiusa con intensità i e area A, immersa in un campo magnetico B e libera di ruotare intorno a un asse perpendicolare a B; angolo $\alpha$ compreso tra A e B

${\vec {M}}=i{\vec {A}}\times {\vec {B}}\Rightarrow M=iAB\sin {\alpha }$

Campo magnetico (pt. 2)

Forza di Lorentz

Forza data da un campo magnetico B su una carica q che viaggia a velocità v

${\vec {F_{q}}}=q{\vec {v}}\times {\vec {B}}\Rightarrow F_{q}=|q|vB\sin {\alpha }$

Raggio dell'orbita di una carica in un campo magnetico in moto circolare uniforme

$r={\frac {m}{|q|}}{\frac {v}{B}}$

Periodo del moto circolare uniforme di una carica in un campo magnetico

$T={\frac {2\pi m}{|q|B}}$

Flusso di un campo magnetico

$\Phi _{\vec {\Omega }}\left({\vec {B}}\right)=\sum _{i=1}^{n}({\vec {B_{i}}}\cdot \Delta {\vec {S_{i}}})$

Campo magnetico all'interno di un filo percorso da corrente

Campo magnetico in un punto distante r dall'asse di un filo di raggio R infinitamente lungo e percorso da corrente i

$B={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {i}{R^{2}}}r\,per\,0\leq r\leq R$

Definizioni

$Flusso\,in\,un\,campo\,elettrico:\,\Phi _{\vec {S}}\left({\vec {E}}\right)={\vec {E}}\cdot {\vec {S}}=E\cdot S\cdot \cos {\alpha }$

$Flusso\,in\,un\,campo\,magnetico:\,\Phi _{\vec {S}}\left({\vec {B}}\right)={\vec {B}}\cdot {\vec {S}}=B\cdot S\cdot \cos {\alpha }$

$Circuitazione\,in\,un\,campo\,elettrico:\,\Gamma _{\mathcal {L}}\left({\vec {E}}\right)=\sum _{j=1}^{n}{{\vec {E}}_{j}\cdot {\vec {\Delta l}}_{j}}$

$Circuitazione\,in\,un\,campo\,magnetico:\,\Gamma _{\mathcal {L}}\left({\vec {B}}\right)=\sum _{j=1}^{n}{{\vec {B}}_{j}\cdot {\vec {\Delta l}}_{j}}$

Equazioni di Maxwell

$Teorema\,di\,Gauss\,per\,il\,campo\,elettrico:\Phi _{\Omega }\left({\vec {E}}\right)={\frac {Q_{tot}}{\varepsilon _{0}}}$

$Teorema\,della\,conservativit{\grave {a}}\,del\,campo\,elettrostatico:\Gamma _{\mathcal {L}}\left({\vec {E}}\right)=0$

$Teorema\,di\,Gauss\,per\,il\,campo\,magnetico:\,\Phi _{\Omega }\left({\vec {B}}\right)=0$

$Teorema\,di\,Amp{\grave {e}}re:\,\Gamma _{\mathcal {L}}\left({\vec {B}}\right)=\mu _{0}\sum _{j=1}^{k}{i_{j}}$

Unità di misura

$Intensit{\grave {a}}\,di\,corrente:Ampere(A)$

$Carica\,elettrica:Coulomb\,(C)=A\cdot s$

$Campo\,elettrico:\,{\frac {N}{C}}={\frac {V}{m}}$

$Flusso\,del\,campo\,elettrico:\,{\frac {N\cdot m^{2}}{C}}$

$Potenziale\,elettrico:Volt,\,V={\frac {N\cdot m}{C}}$

$Circuitazione:\,V$

$Resistenza\,elettrica:\,Ohm,\,{\frac {V}{A}}$

$Forza\,elettromotrice:\,V$

$Campo\,magnetico:\,Tesla\,(T)={\frac {N}{A\cdot m}}$

$Flusso\,del\,campo\,elettrico:\,Weber\,(Wb)=T\cdot m^{2}$

Proprietà delle potenze

$Prodotto\,di\,potenze\,con\,la\,stessa\,base:\,a^{b}\times a^{c}=a^{b+c}\Rightarrow 2^{3}\times 2^{4}=2^{3+4}=2^{7}$

$Rapporto\,di\,potenze\,con\,la\,stessa\,base:\,a^{b}:a^{c}=a^{b-c}\Rightarrow 2^{4}:2^{3}=2^{4-3}=2^{1}=2$

$Prodotto\,di\,potenze\,con\,lo\,stesso\,esponente:a^{c}\times b^{c}=(a\times b)^{c}\Rightarrow 2^{4}\times 3^{4}=(2\times 3)^{4}=6^{4}$

$Rapporto\,di\,potenze\,con\,lo\,stesso\,esponente:a^{c}:b^{c}=(a:b)^{c}\Rightarrow 6^{4}:3^{4}=(6:3)^{4}=2^{4}$

$Potenza\,di\,potenza:(a^{b})^{c}=a^{b\times c}\Rightarrow (2^{3})^{4}=2^{3\times 4}=2^{12}$

$Attenzione!!!!\,(2^{3})^{4}=2^{3\times 4}=2^{12},\,ma\,2^{3^{4}}=2^{(3^{4})}=2^{81}$

$a^{0}=a^{n-n}=a^{n}:a^{n}=(a:a)^{n}=1^{n}=1$

Chimica

Molecole organiche
Molecola	Formula	Desinenza	Reazione	Reagente	Prodotto	Nome del prodotto	Note
Alcani	${\ce {R-H}}$	-ano	Combustione	Luce	${\ce {CO2}}$ + ${\ce {H2O}}$	Anidride carbonica + acqua
Alcani	${\ce {R-H}}$	-ano	Alogenazione	${\ce {Cl2}}$ , luce, calore	${\ce {R-Cl}}$ + ${\ce {H2}}$	Alogenuri alchilici
Alcheni	${\ce {CH2=CH2}}$	-ene	Addizione elettrofila	${\ce {H2}}$ (Idrogenazione)	${\ce {CH3-CH3}}$	Alcani
				${\ce {Cl2}}$ (Alogenazione)	${\ce {Cl-CH2-CH2-Cl}}$	Dialogenuri alchilici
				${\ce {HCl}}$ (Idroalogenazione)	${\ce {CH3-CH2-Cl}}$	Alogenuri alchilici	Regola di Markovnikov
				${\ce {H2O}}$ (Idratazione)	${\ce {CH3-CH2-OH}}$	Alcoli	Regola di Markovnikov
Alchini	${\ce {CH#CH}}$	-ino	Addizione elettrofila	${\ce {H2}}$ (Idrogenazione)	${\ce {CH2=CH2}}$	Cis-alcheni	Catalizzatore di Lindlar
				${\ce {H2}}$ (Idrogenazione)	${\ce {CH3-CH3}}$	Alcani	Catalizzatore metallico
				${\ce {Cl2}}$ (Alogenazione)	${\ce {Cl-CH=CH-Cl}}$	Trans-alchene disostituito	Reazione continua formando alcano tetrasostituito
				${\ce {HCl}}$ (Idroalogenazione)	${\ce {CH2=CH-Cl}}$	Alchene monosostituito	Regola di Markovnikov
				${\ce {H2O}}$ (Idratazione)	${\ce {CH2=CH-OH -> CH2-CH=O}}$	Enolo $\longrightarrow$ Aldeide o chetone	Regola di Markovnikov
Alcoli	${\ce {CH3-CH2-OH}}$	-olo	Sostituzione nucleofila	${\ce {HCl}}$	${\ce {CH3-CH2-Cl}}$ + ${\ce {H2O}}$	Alogenuro alchilico + acqua
			Disidratazione	${\ce {H2SO4}}$	${\ce {CH2=CH2}}$ + ${\ce {H2O}}$	Alchene
			Ossidazione	${\ce {KMnO4}}$ o ${\ce {Na2Cr2O7}}$	${\ce {CH3-CH=O}}$	Il prodotto può essere: Aldeide, se alcol primario Chetone, se alcol secondario Nessuna reazione, se alcol terziario	Reazione dell'alcol primario continua fino a diventare un acido carbossilico

Probabilità e statistica

Variabili aleatorie
Variabile	Tipo	Notazione	Massa/Densità	Media	Varianza	Uso	Relazione con altre
Uniforme discreta	DF	n/a	$f(x)={\frac {1}{k}}$	$E(X)={\frac {k+1}{2}}$	$Var(X)={\frac {k^{2}-1}{12}}$	$k$ eventi con stessa probabilità, per esempio lancio di dado
Bernoulliana	DF	$B(1,p)$	$f(x)={\begin{cases}1-p{\text{ se }}x=0\\p{\text{ se }}x=1\end{cases}}$	$E(X)=p$	$Var(X)=p-p^{2}$	Evento singolo (vero o falso) con probabilità $p$ di avvenire
Binomiale	DF	$B(n,p)$	$f(x)={\binom {n}{x}}p^{x}(1-p)^{n-x}$	$E(X)=np$	$Var(X)=np(1-p)$	Evento singolo (vero o falso) con probabilità $p$ ripetuto $n$ volte, $f(x)$ probabilità che sia avvenuto $x$ volte	Somma di $n$ bernoulliane $B(1,p)$ indipendenti
Geometrica	DI	$BN(1,p)$	$f(x)=p(1-p)^{x}\,(x\geq 1)$	$E(X)={\frac {1}{p}}$	$Var(X)={\frac {1-p}{p^{2}}}$	Evento singolo ripetuto infinite volte, $f(x)$ è la probabilità che il primo successo arrivi al tentativo $x$
Binomiale negativa	DI	$BN(r,p)$	$f(x)={\binom {x-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{x-r}\,(x\geq r)$	$E(X)={\frac {r}{p}}$	$Var(X)={\frac {rp}{(1-p)^{2}}}$	Evento singolo ripetuto infinite volte, probabilità che l' $r$ -esimo successo arrivi al tentativo $x$	Somma di geometriche $BN(1,p)$ indipendenti
Ipergeometrica	DF	$IPG(D,N,n)$	$f(x)={\frac {{\binom {D}{x}}{\binom {N-D}{n-x}}}{\binom {N}{m}}}$ $(\max(0,n-(N-D))\leq x\leq \min(D,n))$	$E(X)=n{\frac {D}{N}}$	$Var(X)={\frac {N-n}{N-1}}\cdot n\cdot {\frac {D(N-D)}{N^{2}}}$	Specifico per le estrazioni senza rimessa: ci sono $N$ palline in un'urna di cui $D$ "buone", voglio sapere quante di queste prendo in $n$ estrazioni.	Somma di $n$ bernoulliane con stessa probabilità ${\frac {D}{N}}$ , ma non indipendenti (covarianza ${\frac {D(D-N)}{N^{2}(N-1)}}$ ). Al limite per $N\to \infty$ , tende alla binomiale
Schema delle telefonate: In un centralino si vuole capire quante telefonate arrivano in un intervallo di tempo $(0,T)$ . Si divide l'intervallo in tanti piccoli intervallini $\Delta t$ di uguale lunghezza ${\frac {t}{n}}$ . Ogni intervallino ha una probabilità $p$ che ci sia una telefonata. Fissato $\mu =np$ e imponiamo il limite $n\to \infty$ . Questo sarà il cosiddetto schema delle telefonate
Poisson	DI	$P(\mu )$	$f(x)={\frac {\mu ^{x}}{x!}}e^{-\mu }$	$E(X)=\mu$	$Var(X)=\mu$	Nello schema delle telefonate, voglio sapere qual è la probabilità che siano arrivate $x$ telefonate nell'intervallo di tempo scelto	Limite della binomiale per $np=\mu$ fissato con $n\to \infty$
Uniforme continua	CF	$U(a,b)$	$f(x)={\frac {1}{b-a}}$	$E(X)={\frac {b+a}{2}}$	$Var(X)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$	Ogni valore tra i margini del segmento è equivalente
Esponenziale	CP	$Exp(\lambda )$	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$	$E(X)={\frac {1}{\lambda }}$	$Var(X)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}$	Nello schema delle telefonate, l'esponenziale misura il tempo di arrivo della prima telefonata (con $\lambda dt=dp$ , oppure quello tra due telefonate successive	Corrispondente continuo della geometrica
Gamma	CP	$gamma(\alpha ,\lambda )$	$f(x)={\frac {\lambda (\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\int _{0}^{\infty }z^{\alpha -1}e^{-z}dz}}={\frac {\lambda (\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (\alpha )}}$	$E(X)={\frac {\alpha }{\lambda }}$	$Var(X)={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}$
Erlang	CP	$gamma(r,\lambda )$	$f(x)={\frac {\lambda (\lambda x)^{r-1}e^{-\lambda x}}{\int _{0}^{\infty }z^{r-1}e^{-z}dz}}={\frac {\lambda (\lambda x)^{r-1}e^{-\lambda x}}{(r-1)!}}$	$E(X)={\frac {r}{\lambda }}$	$Var(X)={\frac {r}{\lambda ^{2}}}$	Nello schema delle telefonate, misura il tempo necessario a ricevere esattamente $r$ telefonate	Letteralmente la gamma ma con $\alpha$ naturale. Corrispettivo continuo della binomiale negativa. Somma di $r$ esponenziali $Exp(\lambda )$ indipendenti
Chi quadrato	CP	$\chi _{\nu }^{2}$	$f(x)={\frac {{\frac {1}{2}}({\frac {1}{2}}x)^{{\frac {\nu }{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}x}}{\int _{0}^{\infty }z^{{\frac {\nu }{2}}-1}e^{-z}dz}}={\frac {{\frac {1}{2}}({\frac {1}{2}}x)^{{\frac {\nu }{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}x}}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}$	$E(X)=\nu$	$Var(X)=2\nu$		$\chi _{\nu }^{2}=gamma\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)$ .
Gaussiana	CI	$N(\mu ,\sigma ^{2})$ ; Se $\mu =0,\sigma =1$ anche detta $Z$	$f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$	$E(X)=\mu$	$Var(X)=\sigma ^{2}$	Quando non sai cosa usare, la gaussiana non è mai un errore	Qualsiasi somma di variabili indipendenti identicamente distribuite converge in distribuzione a una gaussiana.
T di Student	CI	$T_{\nu }$	$f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {\nu \pi }}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{\frac {\nu +1}{2}}}}$	$E(X)=\mu$	$Var(X)=\sigma ^{2}$	Quando non sai cosa usare, la gaussiana non è mai un errore	Qualsiasi somma di variabili indipendenti identicamente distribuite converge in distribuzione a una gaussiana.
Gaussiana bivariata	DCI	n/a	$f(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}e^{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[\left({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}\right)^{2}+\left({\frac {x-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}}\right)^{2}-2\rho \left({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}\right)\left({\frac {x-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}}\right)\right]}$	$E(X)=\mu _{X},E(Y)=\mu _{Y}$ $E(X\|Y=y)=\mu _{X}+\rho {\frac {\sigma _{X}}{\sigma _{Y}}}(y-\mu _{Y})$ $E(Y\|X=x)=\mu _{Y}+\rho {\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}(x-\mu _{X})$	$Var(X)=\sigma _{X}^{2},Var(Y)=\sigma _{Y}^{2}$ $Cov(X,Y)=\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}$ $Var(X\|Y=y)=\sigma _{X}^{2}(1-\rho ^{2})$ $Var(Y\|X=x)=\sigma _{Y}^{2}(1-\rho ^{2})$		Congiunta di due gaussiane di correlazione lineare $\rho$ (ma non sempre la congiunta di due gaussiane è gaussiana)