Utente:Castdefisilsis/P1

La regola di Cavalieri - Simpson è un metodo numerico per il calcolo approssimato di integrali definiti della forma: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$.

In generale un metodo per il calcolo numerico approssimato di integrali si utilizza in casi dei seguenti tipi:

• integrali definiti di funzioni $f\left(x\right)$ delle quali non si conosce la funzione primitiva;
• integrali di funzioni la cui primitiva non può essere espressa tramite funzioni elementari o comunque di funzioni i cui valori si sappiano calcolare con procedimenti praticabili;
• integrali di funzioni derivanti da applicazioni delle quali non è nota l’espressione analitica, ma si conoscono soltanto alcuni suoi valori (ottenuti sperimentalmente o in altro modo), oppure quando è noto soltanto il suo diagramma (tracciato con l’ausilio di appositi strumenti di misura).

Descrizione

La regola di Cavalieri - Simpson si effettua suddividendo l’intervallo di integrazione in un numero pari di sottointervalli e approssimando in ciascuna coppia di intervalli consecutivi il grafico della funzione integranda mediante archi di parabola.

Si consideri $I:=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ ; per semplicità di raffigurazione si supponga $f(x)\geq 0$ nell’intervallo $\left[a,b\right]$.

Suddiviso l’intervallo d’integrazione $\left[a,b\right]$ in un numero pari $\,n\,$ di intervalli, ciascuno di ampiezza $h:={\frac {b-a}{n}}$; si consideri la coppia di intervalli consecutivi aventi come estremi: $x_{0}\,,x_{1}\,,x_{2}$.

Si sostituisca a $f\left(x\right)$ una funzione razionale intera di secondo grado: $y\left(x\right)=A\left(x-x_{1}\right)^{2}+B\left(x-x_{1}\right)+C$ ;

essa rappresenta l’equazione di una generica parabola con asse di simmetria parallelo all’asse Oy.

Per avere una parabola che approssimi in modo soddisfacente la $f\left(x\right)$ si determinano i valori delle costanti A, B e C imponendo il passaggio della parabola per i punti di coordinate: $\left(x_{0},\,y_{0}=f(x_{0})\right),\,(x_{1},\,y_{1}=f(x_{1})),\,(x_{2},\,y_{2}=f(x_{2}))$.

In questo modo la parabola è univocamente determinata dalla risoluzione del seguente sistema (dove si è posto: $y_{i}:=y\left(x_{i}\right)$):

$\left\{{\begin{matrix}y_{0}=A(x_{0}-x_{1})^{2}+B(x_{0}-x_{1})+C\\y_{1}=C\\y_{2}=A(x_{2}-x_{1})^{2}+B(x_{2}-x_{1})+C\end{matrix}}\right.$,

da cui risulta:

$A={\frac {y_{0}+y_{2}-2y_{1}}{2h^{2}}},~B={\frac {y_{2}-y_{0}}{2h}},~C=y_{1}$ .

A questo punto si sa determinare il valore dell’integrale:

$j:=\int _{x_{0}}^{x_{2}}\left[A\left(x-x_{1}\right)^{2}+B\left(x-x_{1}\right)+C\right]\,dx$ =$\left[{\frac {A\left(x-x_{1}\right)^{3}}{3}}+{\frac {B\left(x-x_{1}\right)^{2}}{2}}+Cx\right]_{x_{0}}^{x_{2}}$ =${\frac {A(x_{2}-x_{1})^{3}}{3}}+{\frac {B(x_{2}-x_{1})^{2}}{2}}+Cx_{2}-{\frac {A(x_{0}-x_{1})^{3}}{3}}+{\frac {B(x_{0}-x_{1})^{2}}{2}}+Cx_{0}={\frac {2Ah^{3}}{3}}+2Ch$.

Sostituendo i valori di A, B e C ricavati dal sistema, si ottiene il valore approssimato:

$j={\frac {h}{3}}\left(y_{0}+4y_{1}+y_{2}\right)$ .

Operando in modo simile (con una sequenza di parabole approssimanti) sulle diverse coppie di intervalli consecutivi e sommando sull’intero intervallo d’integrazione si individua il valore $\,J\,$ che approssima $\,I\,$: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\simeq {\frac {h}{3}}\left[\left(y_{0}+4y_{1}+y_{2}\right)+\left(y_{2}+4y_{3}+y_{4}\right)+...+\left(y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n}\right)\right]=:J$

da cui:

$J={\frac {h}{3}}\left(y_{0}+4y_{1}+2y_{2}+4y_{3}+2y_{4}+...+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n}\right)$ .

Tale formula prende il nome di formula di Cavalieri - Simpson o di formula di quadratura mediante parabole.

Errori

Il metodo di integrazione di Cavalieri - Simpson è un metodo di approssimazione numerica e, in quanto tale, è suscettibile di errore. Oltre all’errore del metodo, intrinseco alla metodologia utilizzata, $\,|J-I|\,$si riscontrano anche quelli dovuti all’arrotondamento dei valori.

Per ridurre al minimo questi ultimi, è consigliabile:

• scegliere un passo di integrazione $h$ con un numero finito di cifre decimali;

• eseguire i calcoli con un numero di cifre decimali doppio rispetto a quelle che si desiderano esatte nel risultato.

Indichiamo $\,e:=J-I\,$ l’errore dovuto alla ola 'introduzione delle parabole approssimanti; si può dimostrare (v. ....) che:

$e\simeq kh^{4}$

dove $\,k\,$ è una costante che dipende dalla funzione integranda e dall’intervallo di integrazione. L'espressione trovata dice che si tratta di un metodo di quadratura del quarto ordine.

La valutazione dell’errore con tale criterio non è semplice, poiché richiede di calcolare la derivata quarta della funzione integranda e poi determinarne una maggiorazione. Quando, però, la funzione integranda non è nota, oppure presenta una derivata quarta molto complessa da calcolare, si preferisce perciò ricorrere a metodi empirici per la valutazione dell’errore: il più praticato è il metodo del dimezzamento del passo.

Da quanto osservato precedentemente segue che, applicando concretamente il metodo di Cavalieri - Simpson con un passo di integrazione h, si ottiene l’approssimazione $\,J_{1}\,$ affetta da un errore effettivo $e_{1}:=J_{1}-I\simeq kh^{4}$ .

Utilizzando il passo di integrazione ${\frac {h}{2}}$, si otterrà il valore approssimato effettivo $J_{2}$ con errore: $e_{2}:=J_{2}-I\simeq k{\frac {h^{4}}{16}}$ .

Da tali relazioni segue:

$e_{1}-e_{2}=J_{1}-J_{2}\simeq k\left(h^{4}-{\frac {h^{4}}{16}}\right)$ ,

da cui risulta:

$k\simeq {\frac {16\left(J_{1}-J_{2}\right)}{15h^{4}}}$ .

Poiché si può presumere che l’approssimazione migliore sia data da $J_{2}$, sostituendo il valore di k in $e_{2}\simeq k{\frac {h^{4}}{16}}$, si ottiene:

$e_{2}\simeq {\frac {16\left(J_{1}-J_{2}\right)}{15h^{4}}}\cdot {\frac {h^{4}}{16}}\,\,\Rightarrow \,\,e_{2}\simeq {\frac {J_{1}-J_{2}}{15}}$.

Pertanto si assume come valore assoluto empirico di $e_{2}$:

$e_{a}\simeq {\frac {\left|J_{1}-J_{2}\right|}{15}}$

come maggiorazione dell’errore assoluto:

$e_{2}=\left|J_{2}-I\right|.$

È interessante osservare che, se le approssimazioni $\,J_{1}\,$ e $\,J_{2}\,$ coincidono per le prime n cifre decimali, risulta:

$\left|J_{1}-J_{2}\right|<10^{-n}\,\,\,\rightarrow \,\,\,{\frac {\left|J_{1}-J_{2}\right|}{15}}<{\frac {10^{-n}}{15}}=0.666...\cdot 10^{-(n+1)},$ ;

questo equivale a dire che le prime n cifre decimali non sono affette da errore.

Si può quindi dedurre che se due approssimazioni di un integrale, di cui la seconda ottenuta dimezzando il passo di integrazione utilizzato per calcolare la prima, coincidono per le prime n cifre decimali, tali cifre si possono ritenere esatte.

Più in generale, se si vuole conoscere con esattezza un determinato numero di cifre decimali di un’approssimazione di un integrale, si dovrà calcolare un certo numero di approssimazioni successive, dimezzando di volta in volta il passo, fino ad ottenerne due che coincidono per il numero di cifre desiderato.

Con queste manovre occorre però evitare di operare con intervalli troppo ridotti in quanto questi possono comportare errori di arrotondamento che vanificano i vantaggi del maggior numeroi di arabole approssimanti.