Utente:Castdefisilsis

La regola di Cavalieri-Smpson è un metodo numerico per il calcolo approssimato dell’integrale definito: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$.

In generale, tale metodo, si utilizza nel calcolo di integrali definiti di funzioni $f\left(x\right)$ che o sono prive di primitiva oppure la primitiva non può essere espressa tramite funzioni elementari. Inoltre tale metodo si utilizza nel caso in cui non è nota l’espressione analitica della funzione da integrare, ma si conoscono soltanto alcuni suoi valori (ottenuti sperimentalmente o in altro modo), oppure quando è noto soltanto il suo diagramma (tracciato con l’ausilio di appositi strumenti).

La regola di Cavalieri-Simpson opera suddividendo l’intervallo di integrazione in sottointervalli e approssimando, in ciascuno di essi, il grafico della funzione integranda mediante archi di parabola.

Si consideri $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$, per semplicità si supponga $f(x)\geq 0$ nell’intervallo $\left[a,b\right]$.

Suddiviso l’intervallo d’integrazione $\left[a,b\right]$ in n intervalli, ciascuno di ampiezza 2h dove $h={\frac {b-a}{n}}$, si consideri l’intervallo di estremi: $x_{0}\,,x_{2}$.

Si sostituisca a $f\left(x\right)$ la funzione razionale intera di secondo grado: $y\left(x\right)=A\left(x-x_{1}\right)^{2}+B\left(x-x_{1}\right)+C$;

essa rappresenta l’equazione di una generica parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y.

Per determinare il valore delle costanti A,B,C si impone il passaggio della parabola per i punti di coordinate: $\left(x_{0},\,y_{0}=f(x_{0})\right),\,(x_{1},\,y_{1}=f(x_{1})),\,(x_{2},\,y_{2}=f(x_{2}))$.

In questo modo la parabola è univocamente determinata dalla risoluzione del seguente sistema (dove si è posto: $y_{i}=y\left(x_{i}\right)$):

$\left\{{\begin{matrix}y_{0}=A(x_{0}-x_{1})^{2}+B(x_{0}-x_{1})+C\\y_{1}=C\\y_{2}=A(x_{2}-x_{1})^{2}+B(x_{2}-x_{1})+C\end{matrix}}\right.$,

da cui risulta:

$A={\frac {y_{0}+y_{2}-2y_{1}}{2h^{2}}},\,B={\frac {y_{2}-y_{0}}{2h}},\,C=y_{1}.$

Si determini il valore dell’integrale:

$\int _{x_{0}}^{x_{2}}\left[A\left(x-x_{1}\right)^{2}+B\left(x-x_{1}\right)+C\right]\,dx$ =$\left[{\frac {A\left(x-x_{1}\right)^{3}}{3}}+{\frac {B\left(x-x_{1}\right)^{2}}{2}}+Cx\right]_{x_{0}}^{x_{2}}$ =${\frac {A(x_{2}-x_{1})^{3}}{3}}+{\frac {B(x_{2}-x_{1})^{2}}{2}}+Cx_{2}-{\frac {A(x_{0}-x_{1})^{3}}{3}}+{\frac {B(x_{0}-x_{1})^{2}}{2}}+Cx_{0}={\frac {2Ah^{3}}{3}}+2Ch$.

Sostituendo i valori di A,B,C ricavati dal sistema, si ottiene il valore approssimato $J^{'}$ di $\int _{x_{0}}^{x_{2}}f(x)\,dx:$ $J^{'}={\frac {h}{3}}\left(y_{0}+4y_{1}+y_{2}\right).$

Operando in modo ricorsivo e sommando sull’intero intervallo d’integrazione si otterrà che: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\simeq {\frac {h}{3}}\left[\left(y_{0}+4y_{1}+y_{2}\right)+\left(y_{2}+4y_{3}+y_{4}\right)+...+\left(y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n}\right)\right]$

da cui:

$J={\frac {h}{3}}\left(y_{0}+4y_{1}+2y_{2}+4y_{3}+2y_{4}+...+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_{n}\right)$.

Tale formula prende il nome di formula di Cavalieri-Simpson o delle parabole.

Il metodo di integrazione di Cavalieri-Simpson è un metodo di approssimazione numerica e, in quanto tale, è suscettibile di errore. Oltre all’errore del metodo, intrinseco alla metodologia utilizzata, si riscontrano anche quelli dovuti all’arrotondamento dei valori.

Per ridurre al minimo questi ultimi, è consigliabile:

- scegliere un passo di integrazione $h$ con un numero finito di cifre decimali;

- eseguire i calcoli con un numero di cifre decimali doppio rispetto a quelle che si desiderano esatte nel risultato.

Indicando con $J$ l’approssimazione dell’integrale $I$ e con $e=J-I$ l’errore, si può dimostrare che:

$e\simeq kh^{4}$ ( metodo del quarto ordine);

dove k è una costante che dipende dalla funzione integranda e dall’intervallo di integrazione.

La valutazione dell’errore con tale criterio non è semplice poiché occorre calcolare la derivata quarta della funzione integranda e poi determinarne una maggiorazione; a volte, però, la funzione integranda non è nota, si preferisce perciò ricorrere a metodi empirici per la valutazione dell’errore: il più noto è il metodo del dimezzamento del passo.

Da quanto osservato precedentemente segue che, applicando il metodo di Cavalieri-Simpson con un passo di integrazione h, si ottiene l’approssimazione $J_{1}$ affetta da errore: $e_{1}=J_{1}-I\simeq kh^{4}$.

Utilizzando il passo di integrazione ${\frac {h}{2}}$, si otterrà il valore approssimato $J_{2}$ con errore: $e_{2}=J_{2}-I\simeq k{\frac {h^{4}}{16}}.$

Da tali relazioni segue: $e_{1}-e_{2}=J_{1}-J_{2}\simeq k\left(h^{4}-{\frac {h^{4}}{16}}\right)$,

da cui risulta: $k\simeq {\frac {16\left(J_{1}-J_{2}\right)}{15h^{4}}}$.

Poiché l’approssimazione migliore è data da $J_{2}$, sostituendo il valore di k in $e_{2}\simeq k{\frac {h^{4}}{16}}$, si ottiene:

$e_{2}\simeq {\frac {16\left(J_{1}-J_{2}\right)}{15h^{4}}}\cdot {\frac {h^{4}}{16}}\,\,\rightarrow \,\,e_{2}\simeq {\frac {J_{1}-J_{2}}{15}}$.

Per cui si assume il valore assoluto di $e_{2}$:

$e_{a}\simeq {\frac {\left|J_{1}-J_{2}\right|}{15}}$

come maggiorazione dell’errore assoluto: $e_{2}=\left|J_{2}-I\right|.$

È interessante osservare che, se le approssimazioni $J_{1}$ e $J_{2}$ coincidono per le prime n cifre decimali, risulta:

$\left|J_{1}-J_{2}\right|<10^{-n}\,\,\,\rightarrow \,\,\,{\frac {\left|J_{1}-J_{2}\right|}{15}}<{\frac {10^{-n}}{15}}=0.666...\cdot 10^{-(n+1)},$

il che equivale a dire che le prime n cifre decimali non sono affette da errore.

Si può quindi dedurre che se due approssimazioni di un integrale, di cui la seconda ottenuta dimezzando il passo di integrazione utilizzato per calcolare la prima, coincidono per le prime n cifre decimali, tali cifre si possono ritenere esatte.

Più in generale se si vuole conoscere con esattezza un determinato numero di cifre decimali di un’approssimazione di un integrale si dovrà calcolare un certo numero di approssimazioni successive, dimezzando di volta in volta il passo, fino ad ottenerne due che coincidono per il numero di cifre desiderato.