Metodo di Akra-Bazzi

In informatica, il metodo Akra-Bazzi, o teorema Akra-Bazzi, è utilizzato per analizzare il comportamento asintotico delle ricorrenze matematiche che appaiono nello studio degli algoritmi divide et impera, in cui i diversi sottoproblemi hanno dimensioni decisamente differenti. È una generalizzazione del teorema principale, in cui si assume che i sottoproblemi abbiano invece dimensioni simili.

La formula

Il metodo Akra-Bazzi si applica alle formule ricorsive del tipo:

$T(x)=g(x)+\sum _{i=1}^{k}a_{i}T(b_{i}x+h_{i}(x)),$

per $x\geq x_{0}.$

Le pre-condizioni sono:

• vi sono sufficienti casi base;
• $a_{i}$ e $b_{i}$ sono costanti per ogni $i;$
• $a_{i}>0$ per ogni $i;$
• $0<b_{i}<1$ per ogni $i;$
• $\left|g'(x)\right|\in O(x^{c})$, dove $c$ è una costante e $O$ è la notazione O grande;
• $\left|h_{i}(x)\right|\in O\left({\frac {x}{(\log x)^{2}}}\right)$ per ogni $i;$
• $x_{0}$ è una costante.

Il comportamento asintotico di $T(x)$ si trova determinando il valore di $p$ per cui $\sum _{i=1}^{k}a_{i}b_{i}^{p}=1$, sostituendolo poi nell'equazione

$T(x)\in \Theta \left(x^{p}\left(1+\int _{1}^{x}{\frac {g(u)}{u^{p+1}}}du\right)\right)$

(si veda Θ). Intuitivamente $h_{i}(x)$ rappresenta una perturbazione piccola nell'indice di $T.$ notando che

$\lfloor b_{i}\rfloor =b_{i}x+(\lfloor b_{i}x\rfloor -b_{i}x)$

e

$\lfloor b_{i}x\rfloor -b_{i}x$

sono sempre comprese tra 0 e 1, $h_{i}(x)$ può essere utilizzato per escludere la parte intera nell'indice, e lo stesso si può fare per la parte intera superiore.

Quindi, $T(n)=n+T\left({\frac {1}{2}}n\right)$ e $T(n)=n+T\left(\left\lfloor {\frac {1}{2}}n\right\rfloor \right)$ avranno, ai fini del metodo Akra-Bazzi, lo stesso comportamento asintotico.

Un esempio

Sia

$T(n)={\begin{cases}1,&{\text{se }}0\leq n\leq 3,\\n^{2}+{\frac {7}{4}}T\left(\left\lfloor {\frac {1}{2}}n\right\rfloor \right)+T\left(\left\lceil {\frac {3}{4}}n\right\rceil \right),&{\text{se }}n>3.\end{cases}}$

Applicando il metodo, il primo passo consiste nel trovare il valore di $p$ per cui ${\frac {7}{4}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{p}+\left({\frac {3}{4}}\right)^{p}=1$. Nell'esempio proposto, $p=2$. Usando quindi la formula, sia ha per il comportamento asintotico

$T(x)\in \Theta \left(x^{p}\left(1+\int _{1}^{x}{\frac {g(u)}{u^{p+1}}}\,du\right)\right)=\Theta \left(x^{2}\left(1+\int _{1}^{x}{\frac {u^{2}}{u^{3}}}\,du\right)\right)=\Theta (x^{2}(1+\ln x))=\Theta (x^{2}\log x).$

Impiego

Il metodo Akra-Bazzi è più utile di molte altre tecniche in quanto copre un ventaglio molto ampio di casi. La sua principale applicazione è l'approssimazione del tempo di esecuzione di molti algoritmi divide et impera. Ad esempio nel merge sort, il numero di comparazioni richieste nel caso peggiore, che è all'incirca proporzionale al tempo di esecuzione, è dato ricorsivamente da $T(1)=0$ e

$T(n)=T\left(\left\lfloor {\frac {1}{2}}n\right\rfloor \right)+T\left(\left\lceil {\frac {1}{2}}n\right\rceil \right)+n-1,$

per gli $n>0$, e può essere valutato come $\Theta (n\log n)$.

Bibliografia

• (EN) Mohamad Akra, Louay Bazzi, On the solution of linear recurrence equations, in Computational Optimization and Applications, vol. 10, n. 2, 1998, pp. 195-210.
• (EN) Tom Leighton, Notes on Better Master Theorems for Divide-and-Conquer Recurrences (manoscritto, 9 pagine), Massachusetts Institute of Technology, 1996.

Voci correlate

• Teorema principale
• Teoria della complessità algoritmica

Collegamenti esterni

• O Método de Akra-Bazzi na Resolução de Equações de Recorrência (PT)