Intersezione

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Nella teoria degli insiemi, l'intersezione (simbolo \cap ) di due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B contemporaneamente.

L'intersezione è una operazione binaria. Nell'Algebra Booleana corrisponde all'operatore AND e, in logica, alla congiunzione.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

L'intersezione di due insiemi A e B si denota comunemente con "A \cap B". Quindi x è un elemento di A \cap B se e solo se x è un elemento degli insiemi A e B contemporaneamente, in simboli:

(x \in A \cap B) \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in B)

Più in generale, data una famiglia qualsiasi \{A_\alpha,\,\alpha\in \mathcal{I}\} di insiemi, l'intersezione è definita come quell'insieme \cap_{\alpha \in \mathcal{I}} A_\alpha a cui un elemento x appartiene se e solo se x appartiene ad ognuno degli A_\alpha.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Diagramma di Eulero-Venn per l'intersezione.
Intersezione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

Dalla definizione segue immediatamente che l'intersezione è un'operazione commutativa, in simboli:

A \cap B = B \cap A

Infatti

x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B \Leftrightarrow x \in B \wedge x \in A \Leftrightarrow x \in B \cap A

L'intersezione è inoltre un'operazione associativa:

\left ( A \cap B \right ) \cap C = A \cap \left (B \cap C \right )

Infatti

x \in ( A \cap B ) \cap C \Leftrightarrow x \in A \cap  B \wedge x \in C \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B \wedge x \in C \Leftrightarrow
 x \in A \wedge x \in B \cap C \Leftrightarrow x \in A \cap (B \cap C)

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'intersezione di più di due insiemi, scrivendo semplicemente A \cap B \cap C.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Come esempio elementare si devono considerare due insiemi finiti (cioè con un numero finito di elementi) A=\{1,2,3\} e B=\{2,3,4\}. In questo caso si può verificare direttamente per ogni elemento di A se è anche elemento di B (o viceversa), ottenendo

A \cap B = \{2, 3\}.

Un esempio un po' più astratto è dato da due insiemi definiti tramite determinate proprietà dei loro elementi: siano A l'insieme dei numeri interi divisibili per 4 e B l'insieme dei numeri interi divisibili per 6. In questo caso, A \cap B è l'insieme dei numeri interi divisibili sia per 4 che per 6, ovvero tutti i numeri interi divisibili per 12.

Gli insiemi dei numeri pari e dei numeri dispari sono disgiunti; infatti un numero non può essere contemporaneamente pari e dispari. L'intersezione di questi due insiemi è quindi l'insieme vuoto.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Thomas Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald Rivest, Sets, Etc. in Introduction to Algorithms, 20ª ed., Cambridge, Massachussetts, The MIT Press, 1998.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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