Intersezione

Nella teoria degli insiemi, l'intersezione di due elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B contemporaneamente.

L'intersezione è una operazione binaria. Nell'Algebra Booleana corrisponde all'operatore AND e, in logica, alla congiunzione.

Definizione

L'intersezione di due insiemi A e B si denota comunemente con "$A \cap B$". Quindi x è un elemento di $A \cap B$ se e solo se x è un elemento degli insiemi A e B contemporaneamente, in simboli:

$(x \in A \cap B) \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in B)$

Più in generale, data una famiglia qualsiasi $\{A_\alpha,\,\alpha\in \mathcal{I}\}$ di insiemi, l'intersezione è definita come quell'insieme $\cap_{\alpha \in \mathcal{I}} A_\alpha$ a cui un elemento x appartiene se e solo se x appartiene ad ognuno degli $A_\alpha$.

Proprietà

Diagramma di Eulero-Venn per l'intersezione.

Intersezione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

Dalla definizione segue immediatamente che l'intersezione è un'operazione commutativa, in simboli:

$A \cap B = B \cap A$

Infatti

$x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B \Leftrightarrow x \in B \wedge x \in A \Leftrightarrow x \in B \cap A$

L'intersezione è inoltre un'operazione associativa:

$\left ( A \cap B \right ) \cap C = A \cap \left (B \cap C \right )$

Infatti

$x \in ( A \cap B ) \cap C \Leftrightarrow x \in A \cap B \wedge x \in C \Leftrightarrow x \in A \wedge x \in B \wedge x \in C \Leftrightarrow$

$x \in A \wedge x \in B \cap C \Leftrightarrow x \in A \cap (B \cap C)$

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'intersezione di più di due insiemi, scrivendo semplicemente $A \cap B \cap C$.

Esempi

Come esempio elementare si devono considerare due insiemi finiti (cioè con un numero finito di elementi) A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}. In questo caso si può verificare direttamente per ogni elemento di A se è anche elemento di B (o viceversa), ottenendo

$A \cap B = \{2, 3\}$.

Un esempio un po' più astratto è dato da due insiemi definiti tramite determinate proprietà dei loro elementi: Siano A l'insieme dei numeri interi divisibili per 4 e B l'insieme dei numeri interi divisibili per 6. In questo caso, A ∩ B è l'insieme dei numeri interi divisibili sia per 4 che per 6, ovvero tutti i numeri interi divisibili per 12.

Gli insiemi dei numeri pari e dei numeri dispari sono disgiunti; infatti un numero non può essere contemporaneamente pari e dispari. L'intersezione di questi due insiemi è quindi l'insieme vuoto.

Voci correlate

• Unione
• Differenza (insiemistica)
• Teoria degli insiemi
• Intersezione in geometria descrittiva - incidenza (geometria descrittiva)

Bibliografia

• Thomas Cormen; Charles E. Leiserson, Ronald Rivest, Sets, Etc. in Introduction to Algorithms , 20^a ed., Cambridge, Massachussetts, The MIT Press, 1998.

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