Congettura di Agoh-Giuga

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In teoria dei numeri, la congettura di Agoh-Giuga, correlata ai numeri di Bernoulli Bk, afferma che p è un numero primo se e solo se

pB_{p-1} \equiv -1 \pmod p.

Questa formulazione della congettura è dovuta a Takashi Agoh (1990); una formulazione che (come è stato dimostrato) è ad essa equivalente fu formulata nel 1950 da Giuseppe Giuga, e afferma che p è primo se e solo se

1^{p-1}+2^{p-1}+ \cdots +(p-1)^{p-1} \equiv -1 \pmod p.

È una semplice conseguenza del Teorema di Eulero-Fermat che un numero primo p soddisfa quest'ultima eguaglianza. Un eventuale controesempio alla congettura sarebbe dunque un numero n, non primo, per cui valga

1^{n-1}+2^{n-1}+ \cdots +(n-1)^{n-1} \equiv -1 \pmod n.

Giuga dimostrò che un eventuale controesempio n dovrebbe essere necessariamente un numero di Carmichael, e divisibile per almeno 8 fattori primi distinti. (Per proprietà generali dei numeri di Carmichael, n dovrebbe essere anche privo di quadrati, e inoltre se un numero primo q divide n, allora q-1 divide n-1.) Giuga verificò la congettura per n < 101000; Edmondo Bedocchi nel 1985 arrivò ad n < 101700, e nel 1996 Borwein ed altri si spinsero fino a n < 1013800.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Agoh, T, "On Giuga's conjecture" Manuscripta Math., 87(4), 501-510 (1995).
  • Borwein, D.; Borwein, J. M., Borwein, P. B., and Girgensohn, R. "Giuga's Conjecture on Primality", Amer. Math. Monthly, 103, 40-50, (1996). pdf
  • Giuga, G. "Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi", Ist. Lombardo Sci. Lett. Rend. A, 83, 511-528 (1950).


matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica