Congettura di Agoh-Giuga

In teoria dei numeri, la congettura di Agoh-Giuga, correlata ai numeri di Bernoulli B_k, afferma che p è un numero primo se e solo se

$pB_{p-1} \equiv -1 \pmod p.$

Questa formulazione della congettura è dovuta a Takashi Agoh (1990); una formulazione che (come è stato dimostrato) è ad essa equivalente fu formulata nel 1950 da Giuseppe Giuga, e afferma che p è primo se e solo se

$1^{p-1}+2^{p-1}+ \cdots +(p-1)^{p-1} \equiv -1 \pmod p.$

È una semplice conseguenza del Teorema di Eulero-Fermat che un numero primo $p$ soddisfa quest'ultima eguaglianza. Un eventuale controesempio alla congettura sarebbe dunque un numero $n$, non primo, per cui valga

$1^{n-1}+2^{n-1}+ \cdots +(n-1)^{n-1} \equiv -1 \pmod n.$

Giuga dimostrò che un eventuale controesempio $n$ dovrebbe essere necessariamente un numero di Carmichael, e divisibile per almeno 8 fattori primi distinti. (Per proprietà generali dei numeri di Carmichael, $n$ dovrebbe essere anche privo di quadrati, e inoltre se un numero primo $q$ divide $n$, allora $q-1$ divide $n-1$.) Giuga verificò la congettura per n < 10¹⁰⁰⁰; Edmondo Bedocchi nel 1985 arrivò ad n < 10¹⁷⁰⁰, e nel 1996 Borwein ed altri si spinsero fino a n < 10¹³⁸⁰⁰.

Bibliografia

• Agoh, T, "On Giuga's conjecture" Manuscripta Math., 87(4), 501-510 (1995).
• Borwein, D.; Borwein, J. M., Borwein, P. B., and Girgensohn, R. "Giuga's Conjecture on Primality", Amer. Math. Monthly, 103, 40-50, (1996). pdf
• Giuga, G. "Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi", Ist. Lombardo Sci. Lett. Rend. A, 83, 511-528 (1950).

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