Chirp

Un chirp è un segnale nel quale la frequenza varia linearmente con il tempo, crescendo (up-chirp) o decrescendo (down-chirp). Trova numerose applicazioni nei radar, nei sonar, nelle comunicazioni a spettro espanso ed in alcuni tipi di laser.

Espressione analitica

Rappresentazione grafica di $\sin(2\pi(0.1+t)t)$

Un chirp è un segnale modulato di frequenza in cui la frequenza istantanea varia linearmente con il tempo:

$f(t) = f_0 \pm \frac{k}{2 \pi} t = f_0 \pm \frac{\Delta f}{T} t$

in cui vale la relazione

$k = \frac{2 \pi \Delta f}{T}$.

Poiché quindi

$\begin{align} \cos\left(2 \pi \int_0^t f(t')\, dt'\right) &= \cos\left(2 \pi \int_0^t (f_0 \pm \frac{k}{2 \pi} t')\, dt'\right)\\ &= \cos\left(2\pi f_0 t \pm \frac{k}{2} t^2 \right) \end{align}$

il segnale, supposto impulsato, assume la forma:

$x(t) = \cos\left(2\pi f_0 t \pm \frac{k}{2} t^2 \right) \operatorname{rect\,}_T \left( t \right) = \begin{cases}\cos\left(2\pi f_0 t \pm \frac{k}{2} t^2 \right) & |t| \le \frac{T}{2}\\ 0 & |t| > \frac{T}{2} \end{cases}$

con il segno + per il segnale up-chirp (in cui cioè la frequenza aumenta linearmente) ed il segno - per il down-chirp (in cui cioè la frequenza decresce linearmente).

Il segnale analitico in banda base di un chirp può allora essere espresso come

$\underline{x}(t) = e^{\pm j \frac{k}{2} t^2} \operatorname{rect\,}_T \left( t \right)$

Origine del termine

5 impulsi Up-Chirp (info file)

Esempio di un'onda acustica chirp

Il termine "chirp" deriva dall'inglese ed indica un suono corto e acuto, come quello emesso da un insetto o da un uccello. Riproducendo il segnale chirp in onde acustiche, infatti, si ottiene una sorta di fischio che, ad esempio nel caso up-chirp, diventa più acuto con il crescere del tempo, ricordando il verso di un uccello o di un insetto.

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Bibliografia

• (EN) Chassande-Mottin, Eric, Flandrin, Patrick (October 1998). On the stationary phase approximation of chirp spectra. Proceedings of the IEEE-SP International Symposium on Time-Frequency and Time-Scale Analysis, Pittsburgh, 1998.: 117-120. (Abstract).

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