Paradosso dell'amicizia

Il paradosso dell'amicizia è il fenomeno osservato per la prima volta dal sociologo Scott L. Feld nel 1991 per il quale la maggior parte della gente ha meno amici di quanti ne hanno i suoi amici, in media. Può essere spiegato come una forma di errore di campionamento nel quale le persone con più grandi numeri di amici hanno più possibilità di essere osservati tra i propri amici. In contraddizione con questo, la maggior parte delle persone pensano di avere più amici dei loro amici.

La stessa osservazione può essere applicata più generalmente a qualunque rete sociale definita da altre relazioni a parte l'amicizia: per esempio, i partner sessuali della maggior parte delle persone hanno avuto (in media) un più grande numero di partner sessuali di loro.

Spiegazione matematica

Nonostante sembri un paradosso,il fenomeno è reale, e può essere spiegato come una conseguenza delle proprietà matematiche generali delle rete sociali.

Formalmente, Feld assume che una rete sociale è rappresentata da un grafico indiretto G = (V, E), dove il set di vertici V corrisponde alle persone nella rete sociale, ed il set di lati E corrisponde alla relazione di amicizia tra le coppie di persone. Cioè, lui assume che l'amicizia è una relazione simmetrica: se X è un amico di Y, allora Y è un amico di X. Lui modella il numero medio di amici di una persona nella rete sociale come la media di gradi dei vertici nel grafico in the graph. Cioè, se il vertice v ha d(v) lati che lo toccano (rappresentando una persona che ha d(v) amici), allora il numero medio μ di amici di una persona a caso nel grafico è

$\mu ={\frac {\sum _{v\in V}d(v)}{|V|}}={\frac {2|E|}{|V|}}.$

Il numero medio di amici che ha una persona media può essere modellato scegliendo una persona a caso (che ha almeno un amico), e poi calcolando quanti amici hanno i suoi amici in media. Questo è uguale a scegliere, uniformemente a caso, un lato del grafico (rappresentando una coppia di amici) e il punto finale di un lato (uno degli amici),e di nuovo calcolando il grado del punto finale selezionato. La probabilità di un certo vertice $v$ di essere scelto è :

${\frac {d(v)}{|E|}}\times {\frac {1}{2}}$

Il primo fattore corrisponde a quanto è probabile che il lato scelto contenga il vertice, il quale diventa più grande quando il vertice ha più amici. Il fattore dimezzante arriva semplicemente dal fatto che ogni lato ha due vertici. Così il valore aspettato del numero di amici di un invididuo a caso è:

$\sum _{v}\left({\frac {d(v)}{|E|}}\times {\frac {1}{2}}\right)\times d(v)={\frac {\sum _{v}d(v)^{2}}{2|E|}}$

Conosciamo dalla definizione di varianza :

${\frac {\sum _{v}d(v)^{2}}{|V|}}=\mu ^{2}+\sigma ^{2}$

dove $\sigma ^{2}$ è la varianza di gradi nel grafico. Cio permette noi di computare il valore desiderato aspettato :

${\frac {\sum _{v}d(v)^{2}}{2|E|}}={\frac {|V|}{2|E|}}(\mu ^{2}+\sigma ^{2})={\frac {\mu ^{2}+\sigma ^{2}}{\mu }}=\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{\mu }}$

Per un grafico che ha vertici di diversi gradi (come è tipico delle reti sociali), sia μ che ${\sigma }^{2}$ sono positivi, il che implicano che il grado medio dell'amico è più grande del grado medio di un nodo a caso.

Dopo questa analisi, Feld conclude che in una vera rete sociali, la maggior parte delle persone sono più inclini ad avere meno amici della media del numero di amici dei loro amici. Comunque , questa conclusione non è una certezza matematica; esistono quindi grafici indiretti (come un grafico formato dal rimuovere un singolo lato da un grafico completo) che è improbabile crescano reti sociali ma dove la maggior parte dei vertici hanno un grado maggiore della media dei gradi vicini.

Applicazioni

L'analisi del paradosso dell'amicizia implica che gli amici di invididui scelti a caso sono inclini ad avere una centralità maggiore della media. Questa osservazione è stata usata come un modo di prevedere e rallentare il corso di una pandemia, usando questo processo di selezione casuale per scegliere invididui da immunizare a monitorare per infezioni evitando il bisogno di una computazione complessa della centralità dei nodi nella rete.