Utente:TonyMath/Funzione W di Lambert

Generalizzazioni

La funzione W di Lambert fornisce soluzioni reali per le equazioni algebrico-trascendenti (in x) della forma:

$e^{-cx}=a_{o}(x-r)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

dove a₀, c e r sono costanti reali. La soluzione è $x=r+W(ce^{-cr}/a_{o})/c$. Le generalizzazioni della funzione W di Lambert includono:

• Un'applicazione alla relatività generale e alla meccanica quantistica (gravità quantistica) in bassa dimensione; si tratta di un collegamento precedentemente sconosciuto (prima dell'articolo del 2007 di Farrugia, Mann e Scott) tra queste due aree:

$e^{-cx}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)$

dove il membro destro di (1) è un polinomio quadratico in x, e r₁ e r₂ sono costanti reali distinte, le radici del polinomio quadratico. In questo caso, la soluzione è una funzione di un solo argomento x, e i termini r_i e a_o sono parametri di tale funzione. Da questo punto di vista, la generalizzazione ricorda la funzione ipergeometriche e la funzione G di Meijer ma appartiene ad una diversa classe di funzioni. Quando r₁ = r₂, entrambi i membri di (2) possono essere fattorizzati e ridotti al caso (1); la soluzione, quindi, è quella della funzione W standard. L'equazione (2) descrive il campo di dilatone, dal quale deriva la metrica del problema di gravità a due corpi R=T o lineale in 1+1 dimensioni (una dimensione spaziale e una dimensione temporale) per il caso di masse a riposo diverse, come anche le energie nel modello quantistico unidimensionale di una doppia buca di potenziale, con potenziali a delta di Dirac, per cariche diverse.

• Soluzioni analitiche delle energie di un caso particolare del problema quantistico dei tre corpi, più precisamente la molecola di idrogeno ionizzata una volta . In questo caso il membro destro di (1) (o (2)) è un quoziente di polinomi in x di grado infinito:

$e^{-cx}=a_{o}{\frac {\prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)$

dove r_i e s_i sono costanti reali distinti e x è una funzione dell'energia e della distanza internucleare R. L'equazione (3), con i casi particolari (1) e (2), ha un ruolo in un'ampia classe di equazioni differenziali con ritardo.

Le applicazioni della funzione W di Lambert ai problemi di fisica fondamentale non sono esaurite neppure per il caso standard (1), come si è visto recentemente in fisica atomica, molecolare e ottica.